Главная страница

Основы Тригонометрии. Основы тригонометрии. треугольник и измеряю, то есть измерение треугольников


Скачать 13.7 Kb.
Названиетреугольник и измеряю, то есть измерение треугольников
АнкорОсновы Тригонометрии
Дата30.09.2021
Размер13.7 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаОсновы тригонометрии.docx
ТипДокументы
#239128

Подборка по базе: Равнобедренный треугольник.docx, ЛЗ № 6. Соединение треугольником.doc, Михайлова Алёна СИ-22 треугольники шеи.pdf, Вычисление периметра и площади треугольника.docx, Изучаем треугольники.pptx, 2 признак равенства треугольника.docx, тест по треугольникам.docx, ДРАММАТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК КАРПМАНА.docx, Построение треугольников по трем элементам.ppt, Тест 2. Треугольники.doc

Тригономе́трия (от др.-греч. τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометриифизики и инженерного дела. Например, большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как


{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,}
\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,


{\displaystyle \sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha ),}
\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha ),


{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .}
\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .


{\displaystyle \sin n\alpha ,\qquad \cos n\alpha ,}

{\displaystyle n=2,3,4,5.}
Индийцы также знали формулы для кратных углов \sin n\alpha ,\qquad \cos n\alpha ,  где n=2,3,4,5. n=2,3,4,5.

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в XVI веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа πНилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати[en]» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

  • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

  • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

  • Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

  • Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

  • Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.

  • Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.


{\displaystyle \pi \over 2}

{\displaystyle \theta }
Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до {\pi \over 2}  радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол \theta  (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:


  • {\displaystyle \theta }
    Синус угла \theta  определяется как ордината точки A.

  • Косинус — абсцисса точки A.

  • Тангенс — отношение синуса к косинусу.

  • Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу).

  • Секанс — величина, обратная косинусу.

  • Косеканс — величина, обратная синусу.

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.


написать администратору сайта