Главная страница
Навигация по странице:

  • ЧИСЛА .Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ

  • Сходимость степенного ряда. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

  • Признак Даламбера. Признаки Коши

  • ЛЮБОМ задании данного типа

  • Область определения функции

  • Слева

  • Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений

  • Ответ

  • РЯДЫ. Смех без причины признак Даламбера


    Скачать 184.98 Kb.
    НазваниеСмех без причины признак Даламбера
    АнкорРЯДЫ.docx
    Дата13.12.2017
    Размер184.98 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаРЯДЫ.docx
    ТипДокументы
    #11205

    Подборка по базе: Классификации чрезвычайных ситуации природного и техногенного ха, 6. Клиническая анатомия различных групп зубов. Зубная формула, е, основные причины появление дефектов..docx, Банковские кредиты подразделяются на ряд видов по различным крит, Тема Признаки делимости суммы, разности, произведения на число.d, Понятие и признаки морального вреда , курсовая.docx, Сущность безработицы, ее причины и виды.docx, 5fan_ru_Предпосылки и причины Февральской революции 1917 года.do, вопросы Причины, предвестники родов Документ Microsoft Office Wo, 8. Действия патронажной медсестры при выявлении тревожных призна

    Смех без причины – признак Даламбера

    Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников,Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три!  Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

    На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.

    Понятие функционального ряда и степенного ряда

    Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image002.gif

    Все члены ряда  – это ЧИСЛА.

    Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image006.gif

    В общий член ряда  помимо многочленов, факториалов и других подарков непременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image012.gif

    Как видите, все члены функционального ряда  – это функции.

    Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

    Определение:

    Степенной ряд – это ряд, в общий член  которого входят целые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где  – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример: 
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image023.gif

    Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях. 

    Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»:  или , где  – константа. Например:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image031.gif

    Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда ,  или  не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например: 
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image033.gif

    Или такой степенной ряд:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image035.gif

    Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

    Сходимость степенного ряда. 
    Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

    Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

    Прошу любить и жаловать степенной ряд .

    Переменная  может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
    Если , то 
    Если , то 
    Если , то 
    Если , то http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image054.gif
    И так далее.

    Очевидно, что, подставляя в  то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд  будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

    Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

    1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервала  и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал  и называется интервалом сходимости степенного ряда.

    Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 


    Геометрически ситуация выглядит так:

    интервал сходимости степенного ряда

    В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: 

    Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

    интервал сходимости степенного ряда, симметричный относительно нуля>

    Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: 

    А что будет происходить на концах интервала ?  В точках ,  степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

    Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: 

    – Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал:  или .

    – Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: 

    Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.

    С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

    2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости: . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

    3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: . Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке , если ряд имеет вид , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: .

    Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал  (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

    Исследование степенного ряда на сходимость

    После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.

    Пример 1

    Найти область сходимости степенного ряда 

    Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

    Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.

    На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши. Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля.

    Итак, решаем наш предел:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image097.gif

    (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

    (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

    (3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

    (4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел  и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.

    Кстати, почему  можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.

    (5) Устраняем неопределенность  стандартным способом.

    После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.

    Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при » (значок  в математике обозначает принадлежность).

    Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

    Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.

    В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:


    В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

    Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Половина пути позади.

    На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

    Сначала берём левый конец интервала  и подставляем его в наш степенной ряд :

    При 

    Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

    Используем признак Лейбница:
    1) Ряд является знакочередующимся.
    2)  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

    Вывод: ряд сходится.

    Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
     – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

    Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

    Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд :

    При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image127.gif – сходится.

    Таким образом, степенной ряд  сходится на обоих концах найденного интервала.

    Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: 

    Имеет право на жизнь  и другое оформление ответа: Ряд сходится, если 

    Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

    Пример 2

    Найти область сходимости степенного ряда 

    Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image004_0000.gif

    Составляем стандартное неравенство: 
    Ряд сходится при 

    Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:


    И раскрываем неравенство с модулем по правилу :
     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала.
    1) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image016.gif  

    Обратите внимание, что при подстановке значения  в степенной ряд  у нас сократилась степень . Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.

    Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.

    Используем признак Лейбница. 
    – Ряд является знакочередующимся.
    –  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
    Вывод: Ряд сходится.

    Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

    Сравним данный ряд с расходящимся рядом . 
    Используем предельный признак сравнения:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image029_0000.gif
    Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд  расходится вместе с рядом .

    Таким образом, ряд  сходится только условно.

    2) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image036.gif – расходится (по доказанному).

    Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При  ряд сходится только условно.

    В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала  степенной ряд сходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось – сходится только условно.

    Пример 3

    Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

    Это пример для самостоятельного решения.

    Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

    Пример 4

    Найти область сходимости ряда: 

    Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image048_0000.gif

    (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

    (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

    (3) Кубы  и  по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

     (4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель  выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что  принимает неотрицательные значения при любом «икс».

    В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

    Ответ: Ряд сходится при 

    А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

    Пример 5

    Найти область сходимости ряда 

    Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны ;-) Полное решение ответ в конце урока.

    Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

    Пример 6

    Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image068.gif

    Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела  мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

    Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image074.gif

    Составляем стандартное неравенство:
    Ряд сходится при 
    Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

    Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:


    В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:


     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

    1) Подставляем значение  в наш степенной ряд http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image088_0000.gif:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image090_0002.gif 

    Будьте предельно внимательны, множитель  не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

    Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения  в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

    Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

    Используем интегральный признак.

    Подынтегральная функция непрерывна на .
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image104.gif
    Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

    2) Исследуем второй конец интервала сходимости.
    При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image106.gif

    Используем признак Лейбница: 
    – Ряд является знакочередующимся.
    –  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
    Вывод: ряд сходится

    Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку   – расходится (по доказанному).

    Ответ:  – область сходимости исследуемого степенного ряда, при  ряд сходится только условно.

    Пример 7

    Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

    Это пример для самостоятельного решения.

    Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.

    Пример 8

    Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

    Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image120_0000.gif

    Предел http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image122_0000.gif  по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.

    Итак, ряд сходится при 

    Умножаем обе части неравенства на 9:

    Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :


    Раскрываем модуль:

    И прибавляем ко всем частям единицу:


     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

    1) Если , то получается следующий числовой ряд:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image142.gif

    Множитель  бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

    И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени , а значит, интервал сходимости найден правильно.

    По всем признакам для полученного числового ряда  следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на уроке Ряды для чайников. Повторим.

    Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .

    Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом .
    Используем предельный признак сравнения:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image160.gif
    Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд  сходится вместе с рядом .

    2) Что происходит на другом конце интервала?
    При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image164.gif – сходится.

    А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.

    Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 

    Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:

    Пример 9

    Найти область сходимости ряда 

    Достаточно для начала =)

    В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.

    Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.

     Желаю успехов!

    Решения и ответы:

    Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image174.gif
    Ряд сходится при 
    Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7

     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
    1) При 
    Используем признак Лейбница. 
    – Ряд является знакочередующимся.
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image184.gif – члены ряда не убывают по модулю.
    Вывод: Ряд расходится
    2) При 
    Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
    Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда

    Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image189.gif
    Ответ: Ряд сходится при 

    Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.

    Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image193.gif
    Ряд сходится при 
    Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на :


    В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3:

     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
    1) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image207.gif
    Степень  сократилась, значит, мы на верном пути.
    Используем признак Лейбница. 
    Ряд является знакочередующимся.
     – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
    Ряд сходится по признаку Лейбница.
    Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image213.gif
    Используем интегральный признак.

    Подынтегральная функция непрерывна на .
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image218.gif
    Таким образом, ряд  расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд   сходится только условно.
    2) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image224.gif – расходится (по доказанному).
    Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при  ряд сходится только условно.
    Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так: .
    Примечание: Ряд  можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.

    Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image234.gif
    Ряд сходится при 


     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
    1) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image244.gif
    Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения.
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image248.gif
    Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
    2) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image250.gif – расходится (по доказанному).
    Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 


    написать администратору сайта