Главная страница
Навигация по странице:

  • ЧИСЛА .Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ

  • Сходимость степенного ряда. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

  • Признак Даламбера. Признаки Коши

  • ЛЮБОМ задании данного типа

  • Область определения функции

  • Слева

  • Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений

  • Ответ

  • РЯДЫ. Смех без причины признак Даламбера


    Скачать 184.98 Kb.
    НазваниеСмех без причины признак Даламбера
    АнкорРЯДЫ.docx
    Дата13.12.2017
    Размер184.98 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаРЯДЫ.docx
    ТипДокументы
    #11205

    Подборка по базе: Государство понятие, признаки, функции (1).pptx, изм. 1 Реферат. Вредные привычки в детском возрасте общая характ, Таблица характерных неисправностей контакторов электромагнитного, Мировой финансовый кризис причины и последствия..docx, Оценка связи между качественными признаками.docx, Реферат 2020 Понятие государства и его признаки.docx, 37. Инфляция сущность, причины, социально-экономические последст, Статистика практическая Смехов.doc, Статистика практическая Смехов.doc, Виды и признаки переломов.docx

    Смех без причины – признак Даламбера

    Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников,Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три!  Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

    На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.

    Понятие функционального ряда и степенного ряда

    Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image002.gif

    Все члены ряда  – это ЧИСЛА.

    Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image006.gif

    В общий член ряда  помимо многочленов, факториалов и других подарков непременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image012.gif

    Как видите, все члены функционального ряда  – это функции.

    Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

    Определение:

    Степенной ряд – это ряд, в общий член  которого входят целые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где  – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример: 
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image023.gif

    Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях. 

    Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»:  или , где  – константа. Например:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image031.gif

    Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда ,  или  не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например: 
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image033.gif

    Или такой степенной ряд:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image035.gif

    Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

    Сходимость степенного ряда. 
    Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

    Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

    Прошу любить и жаловать степенной ряд .

    Переменная  может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
    Если , то 
    Если , то 
    Если , то 
    Если , то http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image054.gif
    И так далее.

    Очевидно, что, подставляя в  то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд  будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

    Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

    1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервала  и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал  и называется интервалом сходимости степенного ряда.

    Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 


    Геометрически ситуация выглядит так:

    интервал сходимости степенного ряда

    В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: 

    Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

    интервал сходимости степенного ряда, симметричный относительно нуля>

    Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: 

    А что будет происходить на концах интервала ?  В точках ,  степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

    Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: 

    – Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал:  или .

    – Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: 

    Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.

    С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

    2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости: . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

    3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: . Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке , если ряд имеет вид , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: .

    Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал  (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

    Исследование степенного ряда на сходимость

    После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.

    Пример 1

    Найти область сходимости степенного ряда 

    Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

    Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.

    На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши. Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля.

    Итак, решаем наш предел:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image097.gif

    (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

    (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

    (3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

    (4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел  и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.

    Кстати, почему  можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.

    (5) Устраняем неопределенность  стандартным способом.

    После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.

    Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при » (значок  в математике обозначает принадлежность).

    Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

    Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.

    В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:


    В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

    Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Половина пути позади.

    На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

    Сначала берём левый конец интервала  и подставляем его в наш степенной ряд :

    При 

    Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

    Используем признак Лейбница:
    1) Ряд является знакочередующимся.
    2)  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

    Вывод: ряд сходится.

    Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
     – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

    Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

    Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд :

    При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image127.gif – сходится.

    Таким образом, степенной ряд  сходится на обоих концах найденного интервала.

    Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: 

    Имеет право на жизнь  и другое оформление ответа: Ряд сходится, если 

    Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

    Пример 2

    Найти область сходимости степенного ряда 

    Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image004_0000.gif

    Составляем стандартное неравенство: 
    Ряд сходится при 

    Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:


    И раскрываем неравенство с модулем по правилу :
     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала.
    1) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image016.gif  

    Обратите внимание, что при подстановке значения  в степенной ряд  у нас сократилась степень . Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.

    Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.

    Используем признак Лейбница. 
    – Ряд является знакочередующимся.
    –  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
    Вывод: Ряд сходится.

    Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

    Сравним данный ряд с расходящимся рядом . 
    Используем предельный признак сравнения:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image029_0000.gif
    Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд  расходится вместе с рядом .

    Таким образом, ряд  сходится только условно.

    2) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image036.gif – расходится (по доказанному).

    Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При  ряд сходится только условно.

    В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала  степенной ряд сходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось – сходится только условно.

    Пример 3

    Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

    Это пример для самостоятельного решения.

    Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

    Пример 4

    Найти область сходимости ряда: 

    Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image048_0000.gif

    (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

    (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

    (3) Кубы  и  по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

     (4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель  выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что  принимает неотрицательные значения при любом «икс».

    В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

    Ответ: Ряд сходится при 

    А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

    Пример 5

    Найти область сходимости ряда 

    Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны ;-) Полное решение ответ в конце урока.

    Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

    Пример 6

    Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image068.gif

    Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела  мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

    Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image074.gif

    Составляем стандартное неравенство:
    Ряд сходится при 
    Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

    Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:


    В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:


     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

    1) Подставляем значение  в наш степенной ряд http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image088_0000.gif:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image090_0002.gif 

    Будьте предельно внимательны, множитель  не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

    Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения  в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

    Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

    Используем интегральный признак.

    Подынтегральная функция непрерывна на .
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image104.gif
    Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

    2) Исследуем второй конец интервала сходимости.
    При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image106.gif

    Используем признак Лейбница: 
    – Ряд является знакочередующимся.
    –  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
    Вывод: ряд сходится

    Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку   – расходится (по доказанному).

    Ответ:  – область сходимости исследуемого степенного ряда, при  ряд сходится только условно.

    Пример 7

    Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

    Это пример для самостоятельного решения.

    Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.

    Пример 8

    Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

    Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image120_0000.gif

    Предел http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image122_0000.gif  по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.

    Итак, ряд сходится при 

    Умножаем обе части неравенства на 9:

    Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :


    Раскрываем модуль:

    И прибавляем ко всем частям единицу:


     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

    Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

    1) Если , то получается следующий числовой ряд:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image142.gif

    Множитель  бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

    И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени , а значит, интервал сходимости найден правильно.

    По всем признакам для полученного числового ряда  следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на уроке Ряды для чайников. Повторим.

    Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .

    Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом .
    Используем предельный признак сравнения:

    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image160.gif
    Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд  сходится вместе с рядом .

    2) Что происходит на другом конце интервала?
    При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image164.gif – сходится.

    А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.

    Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 

    Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:

    Пример 9

    Найти область сходимости ряда 

    Достаточно для начала =)

    В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.

    Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.

     Желаю успехов!

    Решения и ответы:

    Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image174.gif
    Ряд сходится при 
    Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7

     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
    1) При 
    Используем признак Лейбница. 
    – Ряд является знакочередующимся.
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image184.gif – члены ряда не убывают по модулю.
    Вывод: Ряд расходится
    2) При 
    Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
    Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда

    Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image189.gif
    Ответ: Ряд сходится при 

    Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.

    Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image193.gif
    Ряд сходится при 
    Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на :


    В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3:

     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
    1) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image207.gif
    Степень  сократилась, значит, мы на верном пути.
    Используем признак Лейбница. 
    Ряд является знакочередующимся.
     – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
    Ряд сходится по признаку Лейбница.
    Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image213.gif
    Используем интегральный признак.

    Подынтегральная функция непрерывна на .
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image218.gif
    Таким образом, ряд  расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд   сходится только условно.
    2) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image224.gif – расходится (по доказанному).
    Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при  ряд сходится только условно.
    Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так: .
    Примечание: Ряд  можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.

    Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image234.gif
    Ряд сходится при 


     – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
    Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
    1) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image244.gif
    Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения.
    http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image248.gif
    Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
    2) При http://www.mathprofi.ru/g/funkcionalnye_i_stepennye_ryady_clip_image250.gif – расходится (по доказанному).
    Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 


    написать администратору сайта