Главная страница
Навигация по странице:

  • Эквивалентные системы

  • 25. Понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности однородной системы.

  • Теорема (об общем решении неоднородных систем).

  • Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных путем элементарных преобразований.

  • Применим данный метод д ля решения системы

  • Единственное условие, которое должно быть выполнено при выборе, состоит в том, что коэффициент при избранном неизвестном должен быть не равен 0.

  • Пример Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

  • Запишем расширенную матрицу системы: .

  • =1. Для этого можно разделить первую строку матрицы на 2. А можно переставить местами 1-ю и 2-ю строки, тогда получим а

  • =1. Второй строке соответствует уравнение: y - z =-2. Получаем, что у= -1. И, наконец, первой строке соответствует уравнение: x - y +2 z

  • Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов


    Скачать 7.71 Mb.
    НазваниеОтвет Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
    АнкорOtvety_Linal.docx
    Дата22.12.2017
    Размер7.71 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаOtvety_Linal.docx
    ТипДокументы
    #12535
    страница3 из 7

    Подборка по базе: Основы самообразования ответы.docx, Предпринимательство практические ответы.docx, История ответы практические.docx, МАКРОКОНОМИКА ответы.docx, Синергия ответы Информационные технологии в юридической деятельн, Итоговые тесты ПП ответы 2022.doc, Рабочий люльки Билет ответ.docx, Билеты и ответы.docx, гистология. ответы на вопросы к экзамену.docx, Балоны ответы.docx
    1   2   3   4   5   6   7

    Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений

    Используя свойства линейных операций с матрицыми, нетрудно доказать, справедливость следующих утверждений.

    1. Если http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image176.gifи http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image177.gif— два решения системы http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image178.gif, то при любых и вектор http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image179.gif— решение системы.

    2. Если http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image176.gifи http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image177.gif— два решения системы http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image180.gif, то вектор http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image181.gif— решение приведенной однородной системы http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image178.gif.

    3. Если http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image176.gifрешение системы http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image180.gif, а http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image177.gif— решение системы http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image178.gif, то вектор http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image182.gif— решение системы http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/el_16/lection/lection7/images/image180.gif.

    Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы

    25. Понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности однородной системы.

    Система совместна – если имеет хотябы одно решение. Несовместна – если не имеет ни одного решениия

    Система линейных алгеьраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

    Если система совместна, найти какой-либо базисный минор порядка r(минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется ранг матриц). Взять r уравнений из коэффицентов которых составлен базисный минор(остальные уравнения отбросить). Неизвестные которые входят в базисный минор называются главными, и оставляются слева, а оставшиеся назыаются свободные, и переносятся вправо

    26. Понятие о линейной зависимости решений; существование фундаментальной системы решений

    . Пусть дана однородная система линейных уравнений

    (*)

    Предположим, что набор чисел - какое-то решение этой системы. Тогда набор чисел тоже является решением. Это проверяется непосредственной подстановкой в уравнения системы. Далее, если набор - некоторое другое решение, то тоже является решением:



    И вообще, любая линейная комбинация решений системы (*) является решением этой системы.

    Всякий базис в множестве Q состоит из nr векторов e1,...,en-r. Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов Е1,..., Еn–r наз. фундаментальной системой решений.

    К примеру у нас было 4 неизвестных, 2 базисных, 2 свободных. X3,x4 заменяем на c1 и с2. Как пример ответ: ( ¾ - 1/4с1+7/4с2)

    ½ + 3/2c1-1/2c2

    C1

    C2

    Базисные решения Е1,..., Еn–r могут быть получены по правилу Крамера, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.

    27. Выражение базисных через свободные

    Если система совместна, найти какой-либо базисный минор порядка r(минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется ранг матриц). Взять r уравнений из коэффицентов которых составлен базисный минор(остальные уравнения отбросить). Неизвестные которые входят в базисный минор называются главными, и оставляются слева, а оставшиеся назыаются свободные, и переносятся вправо.

    После чего выражаем базисные через свободные.

    Как пример: Получена система 2x1+x2=2+x3+3x4 ; 4x1 = 3-x3+7x4

    у нас было 4 неизвестных, 2 базисных, 2 свободных. X3,x4 заменяем на c1 и с2. Как пример ответ: ( ¾ - 1/4с1+7/4с2)

    ½ + 3/2c1-1/2c2

    C1

    C2

    28. Понятие обшего решения одногородной системы, теорема об общем решении

    Однородная система: АX=0. Неоднородная AX=B

    Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r
    Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю



    Определяем ранг матрицы. Базисный минор – из него черпаем именно те неизвестные. Остальные неизвестные заменяем на c1…cn. Затем выписываем общее решение, и делаем фундаменталку – т.е. если у нас 3 c1 c2 c3, в каждом решении чередуем 1 и 0 – (x1,x2,1,0,0), (x1,x2,0,1,0)

    29.

    Теорема (об общем решении неоднородных систем).
    Пусть r=\mathrm{rang}a=\mathrm{rang} \tilde{a}\!(т.е. система (2) совместна), тогда:

    • если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

    • если , то общее решение системы (2) имеет вид \vec{x}_{oh}=\vec{x}_{oo}+\vec{x}_{4h}\!, где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.




    Решим систему
    \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 1 \\ & & & & 3x_3 &+& x_4 &=& 4 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \end{array} \right.

    Преобразуем её к
    \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 1 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \\ & & & & & & x_4 &=& 1 \end{array} \right.

    Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

    Заметим, что является частным решением.

    Составим однородную систему:
    \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 0 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \\ & & & & & & x_4 &=& 0 \end{array} \right.

    Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

    \begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline \vec{x} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \end{array}

    Общее решение системы может быть записано так:

    \vec{x}_{oh}=c\left(\begin{array}{c}1\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\!

    30 МЕТОД ГАУССА

    15. Исследование систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

    Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных путем элементарных преобразований. - метод Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему (имеющей такие же решения) специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

    Применим данный метод для решения системы



    Пусть в системе (1.7) а110. Этого можно добиться несколькими способами в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х1, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а11, т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а11=1.

    Единственное условие, которое должно быть выполнено при выборе, состоит в том, что коэффициент при избранном неизвестном должен быть не равен 0.

    x1++...+ = (1.10)

    Исключим теперь х1 из остальных уравнений системы. Будем умножать (1.8) последовательно на а21, а31,..., аn1 и вычитать соответственно из 2-го, 3-го и последнего уравнений системы. После этого система уравнений (1.7), заменится эквивалентной системой.

    (1.11)

    Эти уравнения также образуют систему n уравнений с неизвестными х1,...,хn. Порядок ее тот же, что и у исходной системы. К ней можно применить такое же преобразование. Выбрать второе уравнение, коэффициент при х2 привести к 1, исключить х2 из остальных уравнений и т.д. Такие преобразования проводятся до тех пор, пока они возможны, т.е. либо мы переберем все уравнения системы, либо когда в оставшихся уравнения не будет коэффициентов не равных 0.

    В результате получаем систему ступенчатого вида:

    (1.12)

    Возможны 3 случая.

    Получаем строку вида: 0+0+0+...+0=dr.

    В этом случае решений нет.

    annxn=bn

    В этом случае единственное решение.

    - бесчисленное множество решений.

    Пример Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

    Запишем расширенную матрицу системы:

    .

    Нужно преобразовать данную матрицу таким образом, чтобы а11=1. Для этого можно разделить первую строку матрицы на 2. А можно переставить местами 1-ю и 2-ю строки, тогда получим а11=1.

    .

    Умножаем первую строку матрицы последовательно на (-2), (-4) и складываем соответственно со второй и третьей строками, получаем:

    .

    В полученной матрице 2-ю строку нужно разделить на 5, для того чтобы а22=1. В данном примере проще провести следующие эквивалентные преобразования: 3-ю строку разделить на 9, и переставить местами 2-ю и 3-ю строки. Получим:

    .

    Теперь умножаем 2-ю строку на (-5) и прибавляем к третьей строке:

    .

    Получили матрицу ступенчатого вида. Третьей строке соответствует уравнение:

    -4z=-4. Откуда получаем z=1. Второй строке соответствует уравнение: y-z=-2. Получаем, что у= -1. И, наконец, первой строке соответствует уравнение: x-y+2z=5. Откуда х=2.
    31.Векторы в пространстве, линейные операции над ними и их свойства.
    Линейные операции над векторами

    Опр1: Вектор - направленный отрезок.

    A – начало, В – конец.Если А=В=



    1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;

    2), , - компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;

    3) =, если а)||=||;б)

    Опр2:Суммой векторов , назовем вектор , такой что:

    Опр3:Произведением на вещественно число назовем :

    1)||=

    2) , >0

    ,<0

    Утв:Множество векторов(направленных отрезков) с операциями , введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.

    Свойства линейных операций над векторами:

    1) +=+

    2) (+)+=+(+)

    3) (+)=+

    4)

    5)

    6) : +=

    7)

    8)

    Опр4: если

    Длинна вктора = x2+y2+z2 в корне

    32. Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве

    Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.

    Опр1. Вектор , называется базисом на прямой L, если вектор ,||L может быть записан в виде

    Опр2.Два линейно независимых вектора , лежащие в плоскости P, называются базисом на плоскости Р, если вектор , лежащий на плоскости Р можно записать в виде .

    Опр3.Три линейно независимых вектора называются базисом в пространстве, если вектор может быть записан в виде

    Теорема

    Любой ненулевой вектор , образует базис на прямой L.

    Любая пара неколлинеарных векторов , лежащих в плоскости Р образует базис на плоскости Р

    Любая тройка некомпланарых векторов образует базис в пространстве.

    Док-во: самостоятельно

    (1) на прямой

    (2) на плоскости

    (3) в пространстве

    Опр4 Правые части формул (1),(2),(3) называются разложением векторов по базисам ;; соответственно, числа соответственными координатами.

    Теорема1:Разложение по базису единственно(самостоятельно!)

    Теорема2:При сложении векторов их соответственные координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число
    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта