Главная страница
Навигация по странице:

  • 1.11.2 Следствия из преобразований Лоренца

  • Относительность понятия одновременности.

  • Длина тел в разных системах отсчета.

  • Промежуток времени между событиями.

  • Физика - Конспект лекций и контрольные работы (1 семестр). Конспект лекций и контрольные работы СанктПетербург 2015


    Скачать 1.21 Mb.
    НазваниеКонспект лекций и контрольные работы СанктПетербург 2015
    АнкорФизика - Конспект лекций и контрольные работы (1 семестр).pdf
    Дата28.01.2017
    Размер1.21 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаФизика - Конспект лекций и контрольные работы (1 семестр).pdf
    ТипКонспект
    #554
    страница5 из 15

    Подборка по базе: Выявления сущности и особенностей организации внеурочной и воспи, Задание для практической работы к теме 6.2..docx, Писарева Т.А. Общие основы педагогики_ конспект лекций.doc, Даулетова конспект.docx, МУ по вып самост работы по ДОу.doc, 15.09 Лекция Организация грузовой и коммерческой работы.doc, ПМ 01. Подготовительно-сварочные работы.doc, Практические работы.pdf, Правила отработок лекций.docx, ВЗСТИ конспект.pdf
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
    1.11.1. Преобразование Лоренца.
    Пусть имеются инерциальные системы отсчета K и K', показан- ные на рис. На рисунке предполагается, что движется система K', в то время как система K неподвижна. С таким же правом можно считать, что неподвижна система K', а система K движется относи- тельно нее со скоростью —V.
    Предположим, что происходит ка- кое-то событие. В системе K. оно ха- рактеризуется значениями координат и времени x, у, z, t; в системе K'— значениями координат и времени x',
    y', z', t'
    . Найдем формулы связываю- щие нештрихованные значения со штрихованными. Из однородно- сти пространства и времени следует, что эти формулы должны быть линейными.
    При показанном на рис. направлении координатных осей плос- кость y' = 0 совпадает с плоскостью y = 0, а плоскость z' = 0 совпа- дает с плоскостью z = 0. Отсюда вытекает, что, например, коорди- наты y и y' должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Это возможно лишь при условии, что
    y =
    α·y', где вследствие линейности уравнения α - постоянная величина.
    Ввиду равноправности систем K и K' обратное преобразование должно иметь вид
    y'=
    α·y
    с тем же значением α, что и при прямом преобразовании. Пе- ремножив оба соотношения, найдем, что α
    2
    = 1, откуда α = ±1. Для одинаково направленных осей нужно взять α = +1. В результате находим, что
    y =y
    ' или y' = y.
    (1.104)
    Аналогичным образом получается формула
    z = z'
    или z' = z.
    (1.105)
    Из этих формул вытекает, что значения y и z не зависят от x' и
    t'
    , откуда следует, что значения x' и t' не могут зависеть от y и t;
    45
    соответственно значения x и t не могут зависеть от y' и z'. Это оз- начает, что x и t являются линейными функциями только x' и t'.
    Из рис. следует, что точка O имеет координату x = O в системе
    K
    и x' = —Vt' в системе K'. Следовательно, выражение x' + Vt'
    должно обращаться в нуль одновременно с координатой x (когда x'
    + Vt'
    равно нулю, x' = —Vt'). Для этого линейное преобразование должно иметь вид
    x =
    γ(x' + Vt'),
    (1.106) где γ — константа. Точка O имеет координату x' = 0 в системе
    K'
    и x = V·t в системе K. Следовательно, выражение x V·t должно обращаться в нуль одновременно с координатой x' (когда x V·t =
    0, то x =V·t). Для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение
    x' =
    γ(x - Vt).
    (1.107)
    В силу равноправности систем K и K' коэффициент γ в обоих случаях должен быть один и тот же.
    Теперь воспользуемся принципом постоянства скорости света.
    Начнем отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала координат O и O' совпадают. Предположим, что в момент t
    = t'
    = 0 в направлении осей x и x' посылается световой сигнал, ко- торый производит вспышку света на экране. Это событие (вспыш- ка) характеризуется в системе K координатой x и временем t, а в системе K'— координатой x' и временем t', причем
    x = ct, x' =ct'.
    (скорость c в обоих случаях одна и та же). Подставив эти зна- чения x и x' в формулы, получим соотношения
    ct
    = γ(ct' + Vt') = γ(c + V)t',
    ct'
    = γ(ct - Vt) = γ (c - V)t.
    Перемножив эти соотношения и сократив обе части получив- шегося равенства на tt', придем к уравнению
    c
    2
    =
    γ
    2
    (c
    2
    - V
    2
    ).
    Отсюда
    2 2
    2 1
    1 1
    1
    β
    γ

    =

    =
    c
    V
    ,
    (1.108) где β = V/c.
    (1.109)
    Подстановка найденного значения у в (1.106) и (1.107) приво-
    46
    дит к формулам
    2 1
    β


    +

    =
    t
    V
    x
    x
    ,
    2 1
    β


    =

    Vt
    x
    x
    (1.110)
    Чтобы найти формулы преобразования времени, исключим из формул (1.110) координату x и разрешим получившееся уравнение относительно t. Затем исключим из формул (1.110) координату x' и разрешим получившееся уравнение относительно t'. В результате придем к формулам
    2 2
    1
    )
    (
    β


    +

    =
    x
    c
    V
    t
    t
    ,
    2 2
    1
    )
    (
    β


    =

    x
    c
    V
    t
    t
    (1.111)
    Напишем вместе формулы (1.104), (1.105), (1.110) и (1.111), подразделив их на две группы:
    2 1
    β


    +

    =
    t
    V
    x
    x
    , y =y , z = z',
    2 2
    1
    )
    (
    β


    +

    =
    x
    c
    V
    t
    t
    , (1.112)
    2 1
    β


    =

    Vt
    x
    x
    , y' = y, z' = z,
    2 2
    1
    )
    (
    β


    =

    x
    c
    V
    t
    t
    . (1.113)
    Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. По формулам (1.112) осуществляется переход от системы K' к системе
    K'
    , по формулам (1.113)—переход от системы K к системе K'-
    Вследствие равноправности систем преобразования (1.112) и
    (1.113) отличаются лишь знаком перед V Это отличие обусловлено тем, что система K' движется относительно системы K со скоро- стью V, в то время как система K движется относительно системы
    K'
    со скоростью — V.
    В преобразованиях Лоренца «перемешаны» координаты и вре- мя. Например, время t в системе K определяется не только време- нем t' в системе K', но также и координатой x'. В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени.
    В пределе при c -» ∞ преобразования Лоренца переходят в пре- образования Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существо- ванием предельной скорости распространения взаимодействий.
    47

    При скоростях много меньших скорости света (т. е. при β << 1) преобразования Лоренца практически не отличаются от преобра- зований Галилея. Следовательно, преобразования Галилея сохра- няют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света.
    При V > c выражения для x, t, x' и t' в формулах (1.112) и (1.113) становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с, невозможно. Невозможна даже система отсчета, движущаяся со скоростью с, потому что при
    V = c
    знаменатели формул для x и t обращаются в нуль.
    Преобразованиям Лоренца можно придать симметричный вид, если написать их для x и ct, т. е. для величин одинаковой размер- ности. В этом случае формулы преобразований выглядят следую- щим образом:
    2 1
    β


    +

    =
    t
    V
    x
    x
    , y =y , z = z',
    2 2
    1
    )
    (
    )
    (
    β


    +

    =
    x
    c
    V
    t
    с
    сt
    , (1.114)
    2 1
    β


    =

    Vt
    x
    x
    , y' = y, z' = z,
    2 2
    1
    )
    (
    )
    (
    β


    =

    x
    c
    V
    сt
    t
    с
    .(1.115)
    Формулы для x и ct, а также для x' и ct' отличаются друг от дру- га только перестановкой соответствующих переменных.
    1.11.2 Следствия из преобразований Лоренца
    Из преобразований Лоренца можно получить следствия, каза- лось бы, противоречащие нашему повседневному опыту. Это про- тиворечие обусловлено тем, что наш опыт относится к процессам, протекающим со скоростями, весьма малыми по сравнению со скоростью света, и поэтому явления, которые мы сейчас рассмот- рим, нами не ощущаются. Однако они с несомненностью присущи миру элементарных частиц, в котором движение со скоростями, близкими к c, представляет собой заурядное явление.
    48

    Относительность понятия одновременности.
    Рассмотрим инерциальные системы отсчета K
    А
    и K
    В
    а — Система K
    В
    движется относительно системы K
    А
    вправо; следовательно, K
    А
    играет роль системы K, а K
    В
    — роль системы K',
    б — Система движется относительно системы K
    А
    влево; это равнозначно тому, что K
    А
    движется относительно K
    В
    вправо; сле- довательно, K
    А
    играет роль системы K', а K
    В
    — роль системы K.
    Предположим, что в системе K
    А
    в точках с координатами x
    1
    А
    и
    x
    2
    А
    (x
    2
    А
    > x
    1
    А
    ) происходят в момент времени t
    A
    два одновременных события. Найдем разность моментов времени t
    2
    B
    и t
    1
    B
    , в которые будут зарегистрированы эти события в системе K
    B
    Если система K
    B
    движется относительно K
    А
    вправо (рис.a), то, применяя преобразования Лоренца, K
    A
    нужно считать системой K, а K
    B

    системой K' и пользоваться для вычисления моментов вре- мени t
    1
    B
    и t
    2
    B
    формулами (111). В этом случае
    2 1
    2 1
    1
    )
    (
    β


    =
    A
    A
    B
    x
    c
    V
    t
    t
    ,
    2 2
    2 2
    1
    )
    (
    β


    =
    A
    A
    B
    x
    c
    V
    t
    t
    Соответственно
    0 1
    )
    )(
    (
    2 1
    2 2
    1 2
    <



    =

    β
    A
    A
    A
    B
    x
    x
    c
    V
    t
    t
    1.116
    Если же система K
    B
    движется относительно К
    A
    влево (рис.б), то
    K
    А
    нужно считать системой K', а K
    B

    системой K и пользоваться другой формулой. В этом случае
    2 1
    2 1
    1
    )
    (
    β

    +
    =
    A
    A
    B
    x
    c
    V
    t
    t
    ;
    2 2
    2 2
    1
    )
    (
    β

    +
    =
    A
    A
    B
    x
    c
    V
    t
    t
    0 1
    )
    )(
    (
    2 1
    2 2
    1 2
    >


    =

    β
    A
    A
    A
    B
    x
    x
    c
    V
    t
    t
    1.117 49

    Таким образом, в любой системе, кроме K
    A
    , события оказыва- ются неодновременными, причем в одних системах второе собы- тие будет происходить позже первого (t
    2
    B
    > t
    1
    B
    ), а в других систе- мах второе событие будет происходить раньше первого (t
    2
    B
    < t
    1
    B
    ).
    Нужно иметь в виду, что полученный нами результат относится лишь к событиям, причинно не связанным друг с другом (очевид- но, что события, происходящие одновременно в разных точках пространства, не могут оказывать воздействия друг на друга).
    Иначе обстоит дело, если между событиями имеется причинная связь. В этом случае событие-причина во всех системах отсчета предшествует событию-следствию. Рождение элементарной час- тицы во всех системах отсчета происходит раньше ее распада. Ни в одной из систем «сын не рождается раньше отца».
    Длина тел в разных системах отсчета. Сравним длину стерж- ня в инерциальных системах отсчета K и K' (рис.). Предположим, что стержень, расположенный вдоль совпадающих осей x и x' по- коится всистеме K'. Тогда определение его длины в этой системе не доставляет хлопот. Нужно приложить к стержню масштабную линейку и определить координату x'
    1
    одного конца стержня, а за- тем координату x'
    2
    другого конца. Разность координат даст длину стержня 
    0
    в системе K': 
    0
    = x'
    2
    - x'
    1
    Стержень покоится в системе
    K'
    . Относительно системы K он движется со скоростью v, равной относительной скорости систем V.
    В системе K дело обстоит слож- нее. Относительно этой системы стержень движется со скоростью v, равной скорости V, с которой система K' движется относительно системы K. (Обозначение V мы будем употреблять только применительно к относительной скоро- сти систем отсчета.) Поскольку стержень движется, нужно произ- вести одновременный отсчет координат его концов x
    1
    и x
    2
    в неко- торый момент времени t. Разность координат даст длину стержня  в системе K:
     = x
    2
    - x
    1
    50

    Для сопоставления длин  и 
    0
    нужно взять ту из формул преоб- разований Лоренца, которая связывает координаты x, x' и время t
    системы K, т. е. первую из формул (113). Подстановка в нее значе- ний координат и времени приводит к выражениям
    2 1
    1 1
    β


    =

    Vt
    x
    x
    2 2
    2 1
    β


    =

    Vt
    x
    x
    Отсюда
    2 2
    1 2
    1 2
    1
    c
    V
    x
    x
    x
    x


    =



    1.118
    (мы подставили вместо β его значение). Заменив разности ко- ординат длинами стержня, а относительную скорость V систем K и
    K'
    равной ей скоростью стержня v, с которой он движется в систе- ме K, придем к формуле
    2 2
    0 1
    c
    v

    = 

    1.119
    Таким образом, длина движущегося стержня оказывается меньше той, которой обладает стержень в состоянии покоя. Ана- логичный эффект наблюдается для тел любой формы: в направле- нии движения линейные размеры тела сокращаются тем больше, чем больше скорость движения Это явление называется лоренце- вым (или фицджеральдовым) сокращением. Поперечные размеры тела не изменяются. В результате, например, шар принимает фор- му эллипсоида, сплющенного в направлении движения. Можно показать, что зрительно этот эллипсоид будет восприниматься в виде шара. Это объясняется искажением зрительного восприятия движущихся предметов, вызванным неодинаковостью времен, ко- торые затрачивает свет на прохождение пути от различно удален- ных точек предмета до глаза. Искажение зрительного восприятия приводит к тому, что движущийся шар воспринимается глазом как эллипсоид, вытянутый в направлении движения. Оказывается, что изменение формы, обусловленное лоренцевым сокращением, в точности компенсируется искажением зрительного восприятия.
    Промежуток времени между событиями. Пусть в системе K' в одной и той же точке с координатой x' происходят в моменты вре-
    51
    мени t'
    1
    и t'
    2
    два каких-то события. Это могут быть, например, ро- ждение элементарной частицы и ее последующий распад. В систе- ме K' эти события разделены промежутком времени
    t' = t'
    2
    - t'
    1
    Найдем промежуток времени ∆t между событиями в системе K, относительно которой система K' движется со скоростью V. Для этого определим в системе K моменты времени t
    1
    и t
    2
    , соответст- вующие моментам t'
    1
    и t'
    2
    и образуем их разность:
    t = t
    2
    t
    1
    Подстановка в нее значений координаты и моментов времени приводит к выражениям
    2 2
    1 1
    1
    )
    (
    β


    +

    =
    x
    c
    V
    t
    t
    2 2
    2 2
    1
    )
    (
    β


    +

    =
    x
    c
    V
    t
    t
    Отсюда
    2 1
    2 1
    2 1
    β




    =

    t
    t
    t
    t
    1.120
    Если события происходят с одной и той же частицей, покоя- щейся в системе K', то ∆t' = t'
    2
    t'
    1
    представляет собой промежу- ток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно частицы и движущимся вместе с ней относительно системы K со скоростью v, равной V (напомним, что буквой V мы обозначаем только относительную скорость систем; скорости частиц и часов мы будем обозначать буквой v). Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела и обычно обозначается буквой τ. Следовательно, ∆t' =

    τ. Величина ∆t == t
    2
    t
    1
    представляет собой промежуток време- ни между теми же событиями, измеренный по часам системы K, относительно которой частица (вместе со своими часами) движет- ся со скоростью v. С учетом сказанного
    2 2
    1
    c
    v
    t


    =

    τ
    1.121
    Из полученной формулы следует, что собственное время мень- ше времени, отсчитанного по часам, движущимся относительно тела (очевидно, что часы, неподвижные в системе K, движутся от- носительно частицы со скоростью —v). В какой бы системе отсче-
    52
    та не рассматривалось движение частицы, промежуток собствен- ного времени измеряется по часам системы, в которой частица по- коится. Отсюда следует, что промежуток собственного времени является инвариантом, т. е. величиной, имеющей одно и то же зна- чение во всех инерциальных системах отсчета. С точки зрения на- блюдателя, «живущего» в системе K, ∆t есть промежуток времени между событиями, измеренный по неподвижным часам, а ∆τ— промежуток времени, измеренный по часам, движущимся со ско- ростью v. Поскольку ∆τ < ∆t, можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы. Подтверждением этого служит следующее явление. В составе космического излучения имеются рождающиеся на высоте 20—30 км нестабильные части- цы, называемые мюонами. Они распадаются на электрон (или по- зитрон) и два нейтрино. Собственное время жизни мюонов (т. е. время жизни, измеренное в системе, в которой они неподвижны) составляет в среднем примерно 2 мкс. Казалось бы, что даже дви- гаясь со скоростью, очень мало отличающейся от c, они могут пройти лишь путь, равный 3·10 8
    ·2·10
    -6
    = 600 м. Однако, как пока- зывают измерения, они успевают в значительном количестве дос- тигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что мюоны движутся со скоростью, близкой к c. Поэтому их время жизни, от- считанное по часам, неподвижным относительно Земли, оказыва- ется значительно большим, чем собственное время жизни этих частиц. Следовательно, не удивительно, что экспериментатор на- блюдает пробег мюонов, значительно превышающий 600 м. Для наблюдателя, движущегося вместе с мюонами, расстояние до по- верхности Земли сокращается до 600 м, поэтому мюоны успевают пролететь это расстояние за 2 мкс.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15


    написать администратору сайта