Главная страница

Кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі 1. Кездейсо сандар жне оларды модельдеу принципі. Кесу дісі


Скачать 88.22 Kb.
НазваниеКездейсо сандар жне оларды модельдеу принципі. Кесу дісі
Дата29.10.2020
Размер88.22 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаКездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі 1.docx
ТипДокументы
#146562

С этим файлом связано 1 файл(ов). Среди них: Кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі 1.docx.
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: 10 көлеміндегі сандар.doc, Кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі 1.docx, №78 сабақ. Санды теңдіктер және олардың қасиеттері. Математика 6, Процестер мен аппараттарды талдаудың, есептеудің жалпы принципте, 3D Модельдеу.doc, Д_некер т_ндер_ ж_не оларды_ т_рлер__ _а__алы_ т_ндер_ Б_лшы_ ет, 03 Нақты сандар edited.docx, «Іскерлік қарым-қатынастағы коммуникативті кедергілер және олард, Электр Бағандарын Және Олардың Орнату.pptx, Информатика 11 класс 3D модельдеу Виртуалды тур Сабақ жоспары 15

Кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі. Кесу әдісі.

Қандай да бір себептермен құбылыстың аналитикалық моделін құруды жүзеге асыру қиын болған жағдайда, статистикалық тестілеу әдісі немесе басқаша айтқанда Монте-Карло әдісі деп аталатын модельдеу әдісі қолданылады.

Қазіргі уақытта Монте-Карло әдісі операцияларды және жалпы кездейсоқ процестерді модельдеуде кеңінен қолданылады. Әдістің мұндай кең қолданылуы негізінен компьютерлердің пайда болуымен байланысты, бұл болашақта осы әдісті қолдана отырып жаппай есептеулер жүргізуге мүмкіндік береді. Алайда, негізінен Монте-Карло әдісін компьютердің көмегінсіз қолдануға болады.

Монте-Карло әдісінің идеясы өте қарапайым және келесідей. Аналитикалық тәуелділіктің көмегімен кездейсоқ құбылысты сипаттаудың орнына «әзіл» орындалады - кездейсоқ нәтиже беретін кейбір процедураны қолдана отырып кездейсоқ құбылысты модельдеу. Өмірде процестің нақты іске асуы әр уақытта әр түрлі дамитыны сияқты, «сурет салу» нәтижесінде кездейсоқ құбылыстың бір данасы - бір «іске асуы» алынады. Осындай «әзілді» өте көп рет орындай отырып, біз статистикалық материалды - кездейсоқ құбылысты іске асырудың жиынтығын аламыз, оны әдеттегі математикалық статистика әдістерімен өңдеуге болады.

Көбінесе бұл әдіс құбылыстың аналитикалық моделін құруға және оның осы модельдегі параметрлері арасындағы байланысты зерттеуге тырысудан гөрі қарапайым болып шығады. Көптеген элементтермен (машиналар, жүйелер, адамдар, ұжымдар) қатысатын және кездейсоқ факторлар өзара әрекеттесетін күрделі операциялар үшін статистикалық тексеру әдісі, әдетте, аналитикалыққа қарағанда қарапайым болып шығады.

Мәні бойынша кез-келген ықтималдық мәселесін «сурет салу» әдісімен шешуге болады; дегенмен, бұл «сурет салу» процедурасы қарапайым және аналитикалық, есептеу әдістерін қолданудан гөрі күрделі емес жағдайда ғана ақталады.

Кездейсоқ сандар және оларды модельдеу принципі.

Компьютерлік модельдеуді қолданатын күрделі жүйелерді зерттеуде кездейсоқ оқиғалар, ықтималдықтар үлестіру заңдары берілген кездейсоқ шамалар және әртүрлі кездейсоқ процестер кеңінен қолданылады. Кез-келген табиғаттағы кездейсоқ заңдылықтарды компьютерлік модельдеудің негізгі әдісі [0, 1] сегментінде біркелкі таралу заңы бар кездейсоқ сандар тізбегін модельдеуге және оны кейінгі функционалды түрлендіруге дейін азаяды.

[0, 1] аралығында ξ біркелкі үлестірілген кездейсоқ шаманың іске асуы болып табылатын кездейсоқ сандардың бастапқы немесе негізгі тізбегінің сапасын таңдау келесі екі фактордан туындайды:

1) кездейсоқ сандарды біркелкі үлестірумен модельдеу мәселесі, ғалымдар компьютерлерді құрудың алғашқы күндерінен бастап-ақ қызығушылық танытып, оларды модельдеудің тиімді алгоритмдерін жасады;

2) біркелкі үлестіру кездейсоқ заңдылықтардың ең қарапайымы және математикалық түрлендірулерге жеңіл келеді.



Х кездейсоқ шамасы [a, b] кесіндісінде біркелкі таралу заңына бағынады, егер оның таралу тығыздығы функциясы [a, b] кесіндісінде тұрақты және осы сегменттен тыс нөлге тең тұрақты функция болса:



Х кездейсоқ шамасының үлестіру функциясы формасына ие

Математикалық күту, дисперсия және орташа ауытқу сәйкесінше:







Ерекше жағдайда, ξ шамасы [0, 1] кесіндісіне біркелкі бөлінгенде, бізде:







Кездейсоқ шаманың әртүрлі кездейсоқ заңдылықтарын модельдеудің маңызды рөлін [0, 1] аралықта біркелкі үлестірілуін қарастыра отырып, оны компьютерлік модельдеудің бірнеше әдісін қарастырамыз. Бұл әдістердің барлығы қайталану қатынастарына негізделген және жалған кездейсоқ сандарды тудырады.

Анықтама. Жалған кездейсоқ сандар математикалық өрнектер z, атап айтқанда, қайталану қатынастары арқылы алынған х кездейсоқ шаманың іске асуы деп аталады.

Әлбетте, жалған кездейсоқ сандардың ықтимал қасиеттері идеалды кездейсоқ сандардан өзгеше болуы мүмкін. Сондықтан жалған кездейсоқ сандарды модельдеу әдістерін әзірлеу кезінде оларға өте қатаң талаптар қойылады. Осылайша, жақсы әдістерді қолдану арқылы алынған дәйектіліктер біркелкі үлестірілген, статистикалық тәуелсіз, қайталанатын және қайталанбайтын сандардан тұруы керек. Сонымен қатар, бұл әдістер жылдам және минималды жадты қолдануы керек. Бұл талаптар орындалған кезде жалған кездейсоқ сандар мен таза кездейсоқ сандар арасындағы айырмашылықты ескермеуге болады.

Тәжірибеде жалған кездейсоқ сандарды алу үшін қолданылатын әдістердің көпшілігі бірінші ретті қайталану қатынастарына негізделген

(1)

саны беріледі. Бірақ бұл формуланың белгілі бір талаптары бар.



Ф(z) Zn+1

0 1 Z 0 1 Zn

Сурет. 7. Сурет. 8.

Шынында да, (1) түріндегі ерікті функция жалған кездейсоқ сандардың «жақсы» тізбегін құра алмайды, өйткені координаталары {z, Ф (z)} нүктелері тіктөртбұрыштың бүкіл бетінде біркелкі орналаспайды (7-сурет), бірақ Ф (z) қисығында жатыр. Демек, жалған кездейсоқ сандардың «жақсы» тізбегін графикасы бірлік квадратты өте тығыз толтыратын осындай функция ғана жасай алады. Мысал ретінде функцияны келтіруге болады (Cурет 8)



мұндағы D - бөлшекті бөлу операциясы, g - жеткілікті үлкен сан.

Жоғарыда келтірілген шарт тек қана қажет, бірақ формула (1) үшін «жақсы» жалған кездейсоқ сандарды қалыптастыру үшін жеткіліксіз. Шынында да, алдымен Ф (z) функциясының формасы мүмкіндігінше күрделі және түсінуге қиын таңдалды, мысалы:



Мұндағы Ц - тұтас бөлікті таңдау операциясы. Бірақ функцияның түрін таңдауға қатысты теорияның болмауы жағымсыз салдарға алып келді. Мысалы, осындай функцияның көмегімен алынған кезектіліктің келесі саны кейде, тіпті болжаусыз жоғалып кетуі мүмкін, содан кейін оның барлық кейінгі элементтері де нөлге теңелуі мүмкін. Көбіне тізбектер сандардың қайталану кезеңінің шамалы мәніне ие болды. Сондықтан, қырқыншы жылдардың соңынан бастап ғалымдар функция түрін таңдағанда сандар теориясының аппараттарын қолдана бастады. Бұл жалған кездейсоқ сандар тізбегінің кезеңінің ұзақтығын алдын-ала білуге ​​және алынған сандардың берілген сапасын қамтамасыз етуге мүмкіндік берді. Жалған кездейсоқ сандарды модельдеудің ең танымал әдістерін қарастырайық. Бұл жағдайда болашақта «жалған кездейсоқ сандар» терминінің орнына біз «кездейсоқ сандар» терминін қолданатын боламыз, өйткені төменде ұсынылған қолданбалы алгоритмдердің көпшілігі жеткілікті жақсы статистикалық қасиеттері бар тізбектерді модельдейді деп ойлаймыз.

Кесу әдісі.

Бұл әдіс келесі кездейсоқ санның цифрларын бір немесе бірнеше алдыңғы сандарға қарағанда сызықтық түрлендіру нәтижесінде цифрлардың бір бөлігін тастау немесе «Кесу» арқылы алынатындығына негізделген.

Біркелкі үлестірілген кездейсоқ сандарды модельдеудің алғашқы алгоритмі. Кесу идеясын қолдана отырып, оны фон Нейман мен Метрополис 1946 ж. Бұл алгоритм «медианалық квадраттар» деп аталады және 2к таңбалы сандармен жұмыс істейді.

Алгоритмді есептеу процедурасы келесі қадамдардан тұрады;

Қадам 1. Қойыңыз



Қадам 2. ziшаршысын құру



Қадам 3. Алынған квадраттың орташа 2к цифрын таңдап, оларды санау



Бұл алгоритмнің бұрыннан таныс функцияға сәйкес келетіндігін тексеру оңай (2).

1-мысал.z0= 0.1981, демек,k = 2 болсын.

Шешім:







Өкінішке орай, орташа квадрат алгоритм көптеген жағдайларда статистикалық қанағаттанарлық нәтиже бермейді. Құрылған дәйектілікте шамадан тыс қажетті сандар көп, яғни. mz <0,5; реттіліктің нөлге дейін дегенерациясы жиі байқалады. Сонымен, елуінші жылдардың басында американдық Дж.Форсайт өткізген бірқатар эксперименттерде келесі нәтижелер алынды. 16 бастапқы мәннің 12-сі циклмен аяқталатын дәйектілікке әкелді: 0.6100; 0.2100; 0,4100; 0,8100; 0,6100, ал екеуі - реттіліктің деградациясына дейін.

Кейде медианалық квадраттар алгоритмі құрған кезектілікте кездейсоқтық мүлдем болмайды.

2-мысал. z0 = 0.4500 болсын.

Шешім:









Қазіргі уақытта осы кемшіліктерге байланысты медиан квадрат алгоритмі кең қолданылмайды және біз үшін бұл тек тарихи қызығушылық тудырады. Оның бұрынғы танымалдылығы қарапайымдылығы мен ерекшелігімен байланысты болды.

Бұл алгоритмнің әртүрлі модификацияларын Джон фон Нейманның ізбасарлары ұсынған. Мысалы, функцияға негізделген алгоритм бойынша айтарлықтай жақсы нәтижелер алынады.

(3)

Алайда, қазіргі кезде біркелкі үлестірілген кездейсоқ сандар тізбегін модельдеуге арналған стандартты кітапханалық бағдарламалардың барлығы дерлік қалдықтар мен қосындыларды жүзеге асырады.

Қалдық әдісі (үйлесімді әдіс).

Бұл әдісті Д.Лемер 1948 жылы ұсынған және жалпы жағдайда форманың сызықтық формуласына негізделген.

(4)

мұндағы, , a, c және m - теріс емес бүтін сандар.

(4) белгісі zn+1 өрнекті m-ге бөлу нәтижесінде алынған қалдыққа тең немесе басқаша айтқанда, бұл m модулінің ең кіші оң қалдықтары дегенді білдіреді. Параметрлерінің кез-келген мәндеріне арналған формула (4) кездейсоқ бүтін сандардың тек ақырлы жиынтығын бере алады, содан кейін реттілік қайталана бастайды. Бұл P
3-мысал. a = 7, c = z0 = 5, m = 9 болсын.

Сонда:



















Өрнектің ерекше жағдайы (4) формула болып табылады

(5)

с = 0-мен алынған. Бұл формула кездейсоқ тізбектерді тезірек, бірақ салыстырмалы түрде қысқа модельдейді.

4-мысал. a, m параметрлерінің мәндері және бастапқы сан өзгеріссіз қалады.

Сонда:









3-мысалда қалдық әдісінің маңызды артықшылығы айқын көрсетілген. Атап айтқанда, (4) өрнекті қолданған кезде қалдық әдісі кездейсоқ сандар тізбегінің деградациясын болдырмайды. Сонымен бірге, бұл мысалдар (4) және (5) формулаларындағы параметр мәндерін ерікті түрде таңдаған кезде, бізде жақсы статистикалық қасиеттері бар кездейсоқ сандар тізбегі алынбайтындығын көрсетеді. Демек, а, с, m параметрлері және бастапқы мән тізбектің максималды кезеңін, оның пайда болуының максималды жылдамдығын және имитацияланған сандар арасындағы минималды корреляцияны қамтамасыз ететін етіп таңдалуы керек.

Енді (5) формула қалдық әдісін сандық енгізу үшін ыңғайлы екендігі анықталды. мұндағы m = 2b, мұндағы b - машиналық сөздегі екілік цифрлар саны. Бұл жағдайда P = m / 4-ке тең болатын максималды реттілік кезеңін келесі шарттар орындалған жағдайда алуға болады:

1) - кез келген бүтін оң тақ сан;

2) a = 8t ± 3, мұндағы t - кез келген оң сан.

(4) Формуланы пайдаланып кездейсоқ сандар тізбегін модельдеу кезінде m-ге тең периодтың максималды ұзындығына қол жеткізуге болады. (4) формула бойынша алынған дәйектіліктің периодтық ұзындығы m-ге тең, егер:

а) с және m - екінші сандар;

б) а-1 - m-ді бөлетін кез-келген қарапайым r үшін r-ге еселік;

в) a-1 4-ке еселік, егер m 4-ке еселік болса.

M кезені ұзын болғандықтан, 0-ден m-1-ге дейінгі әрбір сан имитацияланған ретпен дәл бір рет кездеседі.

Сондықтан, бұл жағдайда таңдау кезеңнің ұзақтығына әсер етпейді.

Қорытындылай келе, (4) және (5) формулаларға сәйкес [0, m] кесіндісінде біркелкі үлестірімі бар кездейсоқ сандардың тізбектері модельденетінін және [0, 1] кесіндісінде сандар алу үшін бұл формулалар өрнекпен толықтырылуы керек екенін ескеру қажет.



написать администратору сайта