Главная страница

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТ. Исследование устойчивости стационарных состоя


Скачать 202.26 Kb.
НазваниеИсследование устойчивости стационарных состоя
АнкорИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.pdf
Дата13.01.2021
Размер202.26 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТ.pdf
ТипИсследование
#167803

Подборка по базе: Оценка функционального состояния пациента ДИСТ.doc, Терминальные состояния.doc, Билеты ПМ.02 Техническое обслуживание и ремонт подъемно-транспор, Статья Исследование ценностных ориентаций подростков1.docx, 2. Состояние вопроса.pdf, учебная практика ИССЛЕДОВАНИЕ.docx, 9. Определение тяжести состояния детей по ИВБДВ.doc, Ультразвуковое исследование.docx, реферат оценка йункционального состояния.docx

74
С
ЕМИНАР
7
Исследование устойчивости стационарных состоя-
ний нелинейных систем второго порядка. Классическая
система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (оп-
ределение стационарных состояний и их устойчивости)
и построение фазовых и кинетических портретов.
И
ССЛЕДОВАНИЕ
УСТОЙЧИВОСТИ
СТАЦИОНАРНЫХ
СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть биологическая система описывается системой двух автономных дифференциальных уравнения второго порядка общего вида:
( , ),
( , ).

=
⎪⎪


=
⎪⎩
dx
P x y
dt
dy
Q x y
dt
Стационарные значения переменных системы опре- деляются из алгебраических уравнений:
( , ) 0,
( , ) 0.
=


=

P x y
Q x y
Исследование характера поведения траекторий сис- темы в окрестностях стационарных состояний, а также анализ устойчивости стационарных состояний проводят с помощью метода Ляпунова (метод линеаризации систем в окрестности стационарного состояния). Ляпунов показал, что в большом числе случаев анализ устойчивости ста- ционарного состояния нелинейной системы можно заме- нить анализом устойчивости системы, линеаризованной в окрестности стационарного состояния.

Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем
75
Коэффициенты линеаризованной системы в окрест- ности каждого стационарного состояния исходной нели- нейной системы определяются по формулам (подробный вывод приведен в Лекции 5 учебника Г. Ю. Ризниченко,
(Ризниченко, 2002)):
( , )
( , )
( , )
( , )
x
y
x
y
a P x y
b P x y
c Q x y
d Q x y


=
=






=
=


Так же, как и в линейных системах, корни характе- ристического уравнения
(
)
2 1,2 1
(
)
(
)
4(
)
2
a d
a d
ad bc
λ
=
+
±
+


дают представление о характере поведения решений сис- темы. Если оба характеристических корня имеют отлич- ные от нуля действительные части (грубые системы), то исследование линеаризованной системы дает всегда пра- вильный ответ на вопрос о типе устойчивости состояния исходной нелинейной системы, а также о характере фа- зовых траекторий в достаточно малой его окрестности.
Как и в случае линейных уравнений, возможны пять ти- пов грубых состояний равновесия: узел (устойчивый, не- устойчивый), фокус (устойчивый, неустойчивый) и седло.
Если действительные части обоих корней характеристи- ческого уравнения равны нулю, или если один корень равен нулю, а другой отрицателен, то для ответа на во- прос об устойчивости необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости в разложении в ряд
Тейлора правых частей уравнений исходной системы
(функций
( , ), ( , )
P x y Q x y
).

Учебное пособие «Математические модели в биологии»
76
П
РИМЕР
7.1: Проведите линеаризацию системы уравне- ний в окрестности нулевого стационарного состояния и оп- ределите его тип устойчивости:
4 3
2
,
5 2
3 .
dx
xy x y
dt
dy
x
y
x
y
dt

=
− +
⎪⎪


=
+
+

⎪⎩
Р
ЕШЕНИЕ
: Для линеаризации системы уравнений в ок- рестности нулевого стационарного состояния найдем част- ные производные функций в правых частях уравнений. В качестве координаты стационарного состояния
( , )
x y подста- вим значения
(0,0) .
[
]
( , )
2 2
1
x
x
a P x y
xy x y
y


=
=
− +
=
− ,
0 2
1 1
y
y
=

= − ;
[
]
( , )
2 2
1
y
y
b P x y
xy x y
x


=
=
− +
=
+ ,
0 2
1 1
x
x
=
+
= ;
4 3
3
( , )
5 2
3 20 2
x
x
c Q x y
x
y
x
y
x




=
=
+
+

=
+


,
3 0
20 2
2
x
x
=
+
= ;
4 3
2
( , )
5 2
3 3
3
y
y
d Q x y
x
y
x
y
y




=
=
+
+

=



,
2 0
3 3
3
y
y
=

= − .
Имеем
1 ( 3)
4
a d
+ = − + − = − ,
( 1) ( 3) 1 2 1
ad bc

= − ⋅ − − ⋅ = , особая точка грубая. Характеристические корни системы первого приближения равны
1,2 4
16 4 1 2
3 2
λ
− ±
− ⋅
=
= − ±
, оба действительны и отрицательны, следовательно, в окрестно- сти нулевой особой точки поведение фазовых траекторий системы будет соответствовать типу «устойчивый узел».

Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем
77
Системы нелинейных уравнений будем исследовать по следующему плану:
1)
определение стационарных состояний,
2)
линеаризация системы в окрестности каждого ста- ционарного состояния,
3)
расчет значений корней характеристических уравне- ний системы, линеаризованной в окрестности каж-
дого стационарного состояния,
4)
вывод об устойчивости и характере поведения фазо- вых траекторий в окрестностях каждого стационар- ного состояния.
А
НАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ
В
ОЛЬТЕРРА
Классическая модель «хищник—жертва», предло- женная В. Вольтерра для объяснения периодических из- менений числа особей, имеет вид:
(
),
(
).
x
xy
yx
y
dx
x
y
dt
dy
y
x
dt
ε
γ
γ
ε

=

⎪⎪


=

⎪⎩
Здесь
x
— число жертв,
y — число хищников,
x
ε
— скорость размножения жертв,
y
ε
— скорость гибели хищ- ников,
,
xy
yx
γ γ
— параметры, отражающие влияние встречи жертвы и хищника на скорость изменения численности жертвы и хищника соответственно.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»
78 1)
Поиск стационарных состояний. Решаем систему ал- гебраических уравнений:
(
) 0,
(
) 0.
x
xy
yx
y
x
y
y
x
ε
γ
γ
ε

=
⎧⎪


=
⎪⎩
Получаем координаты двух стационарных состоя- ний:
1 1
2 2
0, 0,
,
y
x
yx
xy
x
y
x
y
ε
ε
γ
γ
=
=
=
=
. Все параметры положительны, поэтому точка, соответствующая второму (ненулевому) стационарному состоянию принадлежит положительной четверти фазовой плоскости.
2-3) Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния и расчет значений корней характеристи- ческих уравнений системы, линеаризованной в окре- стности каждого стационарного состояния.
( , )
x
x
xy
P x y
y
ε
γ

=

,
( , )
y
xy
P x y
x
γ

= −
( , )
x
yx
Q x y
y
γ

=
,
( , )
y
yx
y
Q x y
x
γ
ε

=

В окрестности стационарного состояния
1 1
0,
0
x
y
=
= матрица коэффициентов линеаризованной системы имеет вид:
0 0
x
y
ε
ε







Корни соответствующего характеристического урав- нения есть
(
)
2 1,2 1
(
)
(
)
4 2
x
I
x
y
x
y
x y
y
ε
λ
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε

=

±

+
= ⎢−


Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем
79
Корни действительные, разных знаков. Таким обра- зом, получаем, стационарное состояние
1 0,
x
=
1 0
y
= неустойчиво, и поведение фазовых траекторий в его окрестности имеет седловой характер.
В окрестности стационарного состояния
2 2
,
y
x
yx
xy
x
y
ε
ε
γ
γ
=
=
матрица коэффициентов линеаризо- ванной системы имеет вид:
0 0
xy
y
yx
yx
x
xy
γ
ε
γ
γ
ε
γ















Корни соответствующего характеристического урав- нения есть
1,2
II
x y
i
λ
ε ε
= ±
. Таким образом, исследова- ние показывает, что особая точка
2 2
,
y
x
yx
xy
x
y
ε
ε
γ
γ
=
=
яв- ляется центром, а траектории вблизи этого стацио- нарного состояния являются концентрическими эл- липсами.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»
80
П
РИМЕР ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ
«И
ССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ
В. В
ОЛЬТЕРРА
«
ХИЩНИК
-
ЖЕРТВА
»
1. Используя численные значения параметров, найдите координаты стационарных состояний, коэффициенты линеа- ризованной системы в окрестности каждого из стационар- ных состояний, значения корней характеристических урав- нений системы уравнений:
1 2
3 4
(
),
(
).
dx
x p
p y
dt
dy
y p x p
dt

=

⎪⎪


=

⎪⎩
Результат занесите в таблицу.
Параметры
Координаты стационарных состояний
Коэффициенты линеаризован- ной системы
Значения корней характеристиче- ского уравнения
1
x
=
1
y
=
a =
b =
c =
d =
1
I
λ
=
2
I
λ
=
1 4
p
=
2 0.1
p
=
3 0.8
p
=
4 0.5
p
=
2
x
=
2
y
=
a =
b =
c =
d =
1
II
λ
=
2
II
λ
=
2. Найдите уравнения главных изоклин и сепаратрис.
Постройте в тетради качественный фазовый портрет реше- ния системы В. Вольтерра «хищник-жертва».
3. В программе TRAX постройте фазовый портрет ре- шения системы В. Вольтерра «хищник-жертва». Обратите внимание на выбор масштаба окна фазовой плоскости. Зари- суйте результат.
4. В программе TRAX постройте кинетический портрет решениясистемы В. Вольтерра «хищник-жертва» для про- извольного начального положения изображающей точки.
Зарисуйте результат.

Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем
81
З
АДАЧИ К СЕМИНАРУ
7
7.1. Проведите линеаризацию системы уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния и опреде- лите его тип устойчивости: а)
4 3
2
,
5 2
3 ;
dx
xy x y
dt
dy
x
y
x
y
dt

=
− +
⎪⎪


=
+
+

⎪⎩
б)
2 2
2 2 ,
3 3 ;
dx
x
y
x
dt
dy
x
x
y
dt

=
+

⎪⎪


=
− +
⎪⎩
в)
2
cos3 ,
4 8 2 ;
x
y
y
dx
e
x
dt
dy
x
e
dt
+

=

⎪⎪


=
+

⎪⎩
г)
(
)
3 3
ln 4
,
2 1
1 6 .
x
dx
y e
dt
dy
y
x
dt


=
+
⎪⎪


=
− +

⎪⎩
7.2. Для модели «кинетические уравнения Лотки»
0 1
1 2
,
dx
k
k xy
dt
dy
k xy k y
dt

=

⎪⎪


=

⎪⎩
найдите стационарную точку
( , )
x y и определите ее тип.
Найдите уравнения главных изоклин, изоклин
45
±
. Для заданных значений параметров постройте эскиз фазового портрета системы:
1)
0 8
k
= ,
1 1
k
= ,
0 2
k
= ;
2)
0 8
k
= ,
0 1
k
= ,
0 1
k
= .


написать администратору сайта