Главная страница
Навигация по странице:

  • Погрешность математических выражений.

  • Вычисления без точного учета погрешностей.

  • 6.4. Методы решения нелинейных уравнений Отделение корней

  • Методы уточнения корней

  • Методы Ньютона (касательных) и хорд

  • Численные методы. 6 Теория погрешностей Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр


    Скачать 0.63 Mb.
    Название6 Теория погрешностей Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр
    АнкорЧисленные методы
    Дата02.07.2021
    Размер0.63 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЧисленные методы.docx
    ТипДокументы
    #222929
    страница1 из 5

    С этим файлом связано 1 файл(ов). Среди них: Лабораторные работы по программированию на VBA.docx.
    Показать все связанные файлы
    Подборка по базе: Сот сараптамасының теориясы Сұрақтар.docx, Прикладной курс Теория и практика написания эссе.docx, АФХД теория.rtf, Экономическая теория. Тест №2..docx, ЭССЕ Эк теория.docx, lab1_t теория материал.docx, Контрольная работа Теория и практика судебной риторики.doc, 1 Понятие и измерение марочного капитала.docx, Экономическая теория.pdf, Оре О. - Теория графов, 1980_inf.docx
      1   2   3   4   5

    6.3. Теория погрешностей

    Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр.

    Ошибкой или погрешностью а приближенного значения а точного числаА называют разность (иногда ею называют разность ). Абсолютную величину разности между точным и приближенным значением называют абсолютнойпогрешностью. Положительное число , удовлетворяющее неравенству

    ,

    называется предельной абсолютной погрешностью. И для оценки точного числа пользуются записью , где задает границы его неопределенности.

    Относительной погрешностью называется величина . Предельная относительная погрешность: . Если для определенности положить , и , то очевидно, что . Следовательно, выражение в левой части неравенства можно принять за предельную относительную погрешность . Обычно , в этом случае используют следующее приближение:

    и .

    Рассмотрим пример, связанный с погрешностью округления. Определим, какое из двух равенств, представленных ниже, окажется точнее

    или .

    Значения в левых частях равенств найдем с большим числом десятичных знаков, откуда вычислим абсолютную погрешность. Она составляет соответственно 0,0004210… и 0,0015926… Сами погрешности (и абсолютные и относительные) принято округлять с избытком, так как при этом границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются. Округляя с избытком, получаем предельные абсолютные погрешности 0,00043 и 0,0016 соответственно. Предельные относительные погрешности так же соответственно составляют и . В результате получаем, что второе равенство оказалось точнее.

    Кроме округления имеются другие источники погрешности: математическая модель, исходных данные, приближенный метод, погрешность машинных вычислений. При определении итоговой погрешности числа, погрешности, полученные от разных источников, складываются.

    Пользоваться оценкой не всегда удобно. Так для физических констант и табличных данных границы неопределенности, как правило, не задаются, однако они всегда имеют определенную точность, связанную с понятиями значащей и верной цифры числа.

    Значащими называют все цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,042 значащими будут две цифры 4 и 2. Это же число можно записать, как и в этой записи так же две значащие цифры. В числе 350,0 все цифры значащие, при записи его как 350 или количество значащих цифр уменьшается и если изначально в числе определены четыре значащих цифры, то последние две его записи не правомерны.

    Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.

    Для числа 36,528, определенного с погрешностью 0,07 будут верными только цифры 3 и 6. Цифра 5 будет уже не верна, так как единица ее разряда это 0,1 а половина от этого значения меньше погрешности. Аналогично будут не верны цифры 2 и 8.

    В числах принято оставлять только верные цифры, пользуясь при этом пользуясь правилами округления. В предыдущем примере, если оставить только первые две цифры, округлив число до 37, то погрешность округления составит 0,472. Общая погрешность составит 0,472+0,07=0,542. Это означает, что вторая цифра числа оказалась не верной и округление нужно продолжить. Округлив число до , получаем единственную верную цифру, погрешность числа в итоге составит 3,542.

    В некоторых случаях используют понятие верной цифры в широком смысле. Это означает, что абсолютная погрешность числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.

    Справочные величины, как правило, имеют в своем составе все верные цифры в широком смысле. И если, например, задана некоторая физическая константа , то можно утверждать, что ее абсолютная погрешность не превышает 0,005. Данное значение можно принять за предельную абсолютную погрешность и вычислить предельную относительную погрешность: 0,005/8,31  6,02104 = 0,0602. Если округлить результат с избытком до одной значащей цифры, то погрешность составит 0,07.

    Погрешность математических выражений.

    При вычислении математических выражений, в которые входят приближенные числа, возникает необходимость в определении погрешности результата. Для этого нужно уметь вычислять погрешности арифметических операций и функций.

    Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

    Если х1, х2, х3, …, х1n данные приближенные числа, а u – их алгебраическая сумма, то согласно теореме,

    .

    Вследствие этого за предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых

    .

    Данная формула используется, как при сложении, так и при вычитании.

    Относительная погрешность произведения (частного) приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

    Если x,y приближенные числа и (аналогично при ), то, следуя предыдущей теореме, можно записать:

    или .

    Таким образом, за предельную относительную погрешность произведения (частного) можно принять сумму предельных относительных погрешностей множителей (делимого и делителя).

    Нетрудно понять из предыдущих рассуждений, что за предельную относительную погрешность степени (где x – приближенное число) можно принять произведение показателя степени на предельную относительную погрешность основания .

    Рассмотрим пример вычисления погрешности выражения

    при , , .

    Вначале найдем X=5970441,129. Результат округлим до четырех значащих цифр: . За абсолютную предельную погрешность округления в этом случае можно принять .

    Заметим, что в скобках и в подкоренном выражении производится операция вычитания. В этом случае производится расчет с помощью абсолютных погрешностей.

    Имеем , .

    Переходя к относительным погрешностям можно записать итоговое выражение.



    В итоге, округляя с избытком, получим

    .

    Предельная абсолютная погрешность

    .

    Если учесть погрешность округления, то окончательно можно записать:

    .

    Для вычисления предельной абсолютной погрешности функции многих переменных: f(x1, x2,…,xn), каждая из которых является приближенным числом, справедлива формула:



    В частности, для функции от одной переменной: f(x) справедлива формула:



    Например:
    Вычисления без точного учета погрешностей.

    При массовых вычислениях обычно не учитывают погрешность каждого отдельного результата и в этих случаях пользуются следующими правилами подсчета верных цифр.

    1. При сложении и вычитании приближенных чисел в исходных данных для каждого числа определяют младший десятичный разряд. Среди младших разрядов чисел выбирают максимальный, а полученный результат сложения или вычитания округляют до этого разряда. Например, .

    2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

    3. При возведении в квадрат или куб (а также при извлечении квадратного и кубического корней) в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени (подкоренное выражение).

    4. Во всех промежуточных результатах оставляют на одну значащую цифру больше. У окончательного результата лишнюю цифру округляют.

    Ниже представлен пример вычислений без точного учета погрешностей.

    Пусть , где , , .

    Тогда



    6.4. Методы решения нелинейных уравнений

    Отделение корней

    Дано уравнение вида . Всякое значение , обращающее в нуль функцию f(x), называется корнем функции. Из-за сложного вида функции часто возникают трудности с аналитическим решением, и в этом случае пользуются вычислительными методами для приближенного нахождения корней. Корни требуется получить с заданной наперед точностью ε.

    Приближенное нахождение действительных изолированных корней проходит в два этапа: 1) отделение корней, т.е. установление как можно более тесных промежутков, на которых содержится только один корень уравнения;2) уточнение приближенных корней с точностью ε.

    Существует два способа для отделения корней: графический и аналитический. В первом случае строится график функции и находятся точки пересечения с осью абсцисс. Часто сложную функцию f(x) разбивают на две h(x), g(x) таким образом, чтобы уравнение можно было заменить на . В этом случае корень функции f(x) определяется из пересечения графиков двух вспомогательных функций.



    Пусть , тогда и .

    Из построенного с помощью системы MathCAD графика видно, что имеются два корня: при и .

    Для второго способа отделения корней используется следующая теорема (Больцано-Коши):

    Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения. Корень будет заведомо единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а,b).

    Рассмотрим аналитический способ отделения корней для следующего примера: . Требуется найти участки, на которых производная сохраняет знак. Для этого необходимо вычислить корни уравнения ). В промежутках между корнями знак производной сохраняется. Решая уравнение: , находим три корня: , , . Следовательно, имеются четыре интервала: , , , , на которых знак производной не меняется. Для определения промежутков, в которых содержаться корни функцииf(x), необходимо исследовать знак функции на концах интервалов. Результат такого исследования удобно представить в таблице:

    X

    –







    +

    Sign f(x)

    +



    +



    +

    Из таблицы видно, что все четыре корня по одному находятся внутри отдельных интервалов. Промежутки отделения корней можно сузить путем подбора. При этом необходимо следить, чтобы на концах отрезка [a,b], внутри которого ищется корень, выполнялось бы неравенство f(a)f(b)<0. Так интервал , можно заменить на интервал . Заметим, что если бы функция в точке –1/5 была отрицательна, то она имела бы всего два действительных корня в интервалах и . Это означало бы, что у данной функции два других корня – комплексные.
    Методы уточнения корней

    Метод половинного деления (метод дихотомии) предназначен для уточнения значения корня на отрезке [a,b] с заданной точностью ε. Суть этого метода заключается в том, что сначала находится середина отрезка , затем определяется часть отрезка, [a] или [с,b], внутри которого располагается корень. Если f(a)f(с)<0 , то корень содержится внутри отрезка [a] и деление можно продолжить, приняв за правый конец точкус, выполнив присваивание b=c. В противном случае, когда f(с)f(b)<0, в точку с смещается левый конец отрезка: а=с. и т.д. Процесс половинного деления следует остановить, когда длина отрезка окажется меньше заданной точности: . Любая точка внутри такого отрезка – искомое решение.

    Ниже приведены результаты уточнение корня рассмотренной выше функции на интервале , с точностью .

    Вычисления с помощью электронных таблиц можно проводить, вручную, отслеживая знак произведений f(a)f(с) и f(с)f(b). Процесс можно автоматизировать если



    использовать условную функцию «ЕСЛИ». В данном примере в ячейках третьей строкитаблицы записаны следующие формулы:

    A

    B

    C

    D

    =ЕСЛИ(D2=D3;A2;C2)

    =ЕСЛИ(E2=E3;B2;C2)

    =(A3+B3)/2

    =ЕСЛИ(D2*F2<0;D2;F2)




    E

    F

    G

    =ЕСЛИ(E2*F2<0;E2;F2)

    =5/4*C3^4+1/3*C3^3-5*C3^2-2*C3+1

    =ABS(A3-B3)

    нижние строки заполняются с помощью копирования.



    Вычисления с помощью MathCAD удобнее производить, используя программирование. Слева приведен пример такой программы.








    Методы Ньютона (касательных) и хорд

    Для численного решения уравнения методами Ньютона и хорд необходимо, чтобы первая и вторая производные функции f(x) были непрерывны и сохраняли знак на отрезке [a,b], в котором заключен единственный корень . Из условия постоянства знака первой производной следует единственность корня при на заданном отрезке, а из условия постоянства знака второй производной следует, что выпуклость функции не меняется на вогнутость и наоборот.
      1   2   3   4   5


    написать администратору сайта