Главная страница
Навигация по странице:

  • Игра

  • Стратегия

  • Основные понятия и определения антагонистических игр.

  • Игровая ситуация

  • Платежная матрица

  • Платежная матрица

  • Матрица игровых ситуаций

  • Функция выигрыша

  • Чистая стратегия игрока

  • Цель принципа доминирования

  • 4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.

  • Показатель неэффективности

  • 5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.

  • Соотношение для

  • Критерий решения игры в чистых стратегиях.

  • Доказательство утверждения

  • Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока

  • Равновесие в антагонистической игре.

  • Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр


    Скачать 4.21 Mb.
    НазваниеЗадачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
    АнкорТеория игр - теоретический материал, все вопросы.docx
    Дата02.05.2017
    Размер4.21 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаТеория игр - теоретический материал, все вопросы.docx
    ТипДокументы
    #6343
    КатегорияМатематика
    страница1 из 27
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27

    1. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе.


    Теория игр – раздел современной математики, изучающий математические модели принятия решений в т.н. конфликтных ситуациях.

    Математическая модельэто математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта.

    Игра – упрощенная, формализованная модель конфликта. Важным отличием игры от реального конфликта является наличие жёстко определённых правил поведения.

    Игроки – заинтересованные в конфликте стороны.

    Стратегия – любое возможное действие игрока.

    Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

    Выигрыш – то, что обуславливает интерес игроков. (похвала, порицание, приз, штраф).

    Три вида игр:

    1. Антагонистические

    Страховщик и страхователь

    На рынке есть страховщик и страхователь. Эта игра антагонистическая, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

    Взаимодействие этих сторон можно рассматривать, как игру, потому что есть конфликт интересов. У каждого игрока есть свои стратегии. И они нацелены на максимизацию своего выигрыша, либо минимизацию проигрыша.

    1. Игры с природой

    Предположим, что инвестор может купить акции одной из 3 компаний. Роль природы исполняет ситуация на фондовом рынке, которая в разные периоды складывается по-разному. Инвестору надлежит принять решение в условиях неопределенности, какой компании отдать предпочтение. На основе этих составляются матрицы выигрышей.

    1. Неантагонистические

    На рынке есть две фирмы А и В, производят аналогичные товары. Они выбирают объем производимых товаров Q1 и Q2.

    Если Q=0, то P=A

    При этом издержки у них одинаковы = C

    Цена зависит от Q: P(Q)=A-Q

    Чем больше Q, тем меньше P.

    Pk=(A-Q-C)*Qk

    Задача этой модели, найти равновесные Q1* и Q2*, которые создают ситуацию, которая является равновесием Нэша.

    Необходимо найти:

    P1(Q1;Q2*) -> max

    P2(Q1*;Q2) -> max


    1. Основные понятия и определения антагонистических игр.


    Стратегия – любое возможное действие игрока.
    Множество стратегий – все возможные стратегии игроков

    Игровая ситуация – результат выбора каждым из игроков своей стратегии.

    Множество игровых ситуаций – все возможные варианты игровых ситуаций. Образует ситуационное пространство игры.

    Игра – упрощенная, формализованная модель конфликта. Важным отличием игры от реального конфликта является наличие жёстко определённых правил поведения.

    Игроки – заинтересованные в конфликте стороны.

    Платежная матрица – матрица, элементами корой являются выигрыши (проигрыши) игрока.

    Антагонистическая игра – игра с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

    FA=-FB , где F – функция выигрыша.

    Платежная матрица:

    Стратегии игрока A

    Стратегии игрока B


















































    Матрица игровых ситуаций:

    Стратегии игрока A

    Стратегии игрока B




















































    1. Взаимосвязь заключается в том, что при игровой ситуации (A1;B1) игроки соответственно достигают выигрышей(проигрышей) (a11;b11)3. Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Принцип доминирования стратегий. Соотношение между матрицами выигрышей игроков А и В в парной антагонистической игре с нулевой суммой.


    Функция выигрыша: , k – игроки, s – ситуации.

    Матрица выигрышей:

    Стратегии игрока A

    Стратегии игрока B

















































    Чистая стратегия игрока – стратегия, которую выберет игрок с вероятностью = 1.

    Доминирование - ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов.

    Цель принципа доминирования – уменьшить размер матрицы, путем выбрасывания из рассмотрения тех стратегий, которые являются очевидно невыгодными.
    безымянный4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.
    Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.



    Показатель неэффективности: максимальный проигрыш игрока В.



    Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.



    При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

    Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.



    При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.5. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цена игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.
    Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.



    При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.
    Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.



    При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.
    Соотношение для α и β

    Для элементов матрицы A имеют место неравенства

    , , ,

    и, следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены в чистых стратегиях:

    .


    1. Критерий решения игры в чистых стратегиях.

    Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

    Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

    Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

    Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

    В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.


    1. Доказательство утверждения .

    Теорема. Для элементов матрицы имеют неравенства и след-ноб нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

    Д-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В имеем

    , cлед-но доказано

    так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i0 и j=j0 соответственно максиминной и минимаксной стратегией Ai0 и Bj0:

    Тогда в силу получим требуемое неравенство


    1. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока A.

    Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии Bjo игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

    Д-во: Пусть ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению (1) показателя неэффективности стратегии Bj0 следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j0 получим , то есть доказано


    1. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока B

    Т. Ситуация (Ai0, Bjo) будет удовлетворительна для игрока В Тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективности стратегии Aio игрока A: , то есть будет минимален в i-ой строке матрицы игры

    Д-во: Если ситауция (Ai0, Bjo) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенства при i=i0 получим и рав-во доказано

    Если же это справедливо то по при i=i0 будем иметь то есть доказано неравенство


    1. Равновесие в антагонистической игре.

    Ситуация (Ai0, Bjo) называется равновесной , если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В то есть если выполняются неравенства и : (1) или равенства и : (2)

    Таким образов двойное нер-во (1) и двойное равенство (2) эквивалентны

    1.   1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27
    написать администратору сайта