Главная страница
Навигация по странице:

  • Ответ

  • МАТЕМАТИКА

  • ТВиМС - ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять


    Скачать 0.76 Mb.
    НазваниеЗадача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять
    АнкорТВиМС - ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.doc
    Дата16.05.2017
    Размер0.76 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаТВиМС - ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.doc
    ТипЗадача
    #7695
    страница1 из 4
      1   2   3   4

    ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»



    Теория вероятностей:
    Задача 1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

    Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом — одно из сочетаний очков 1, ..., 6 на верхних гранях трех костей.

    Исследуемое событие — сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события вычислим с помощью формулы: .

    Общее количество элементарных событий можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем

    .

    Количество элементарных событий , входящих в состав события или благоприятствующих событию , найдем, выписав все возможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросаний первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:

    11З


    212


    311


    366


    465


    564


    663


    122


    221


    316


    415


    514


    613




    131


    226


    325


    424


    523


    622




    136


    235


    334


    433


    532


    631




    145


    244


    343


    442


    541


    636




    154


    253


    352


    451


    546


    645




    163


    262


    361


    456


    555


    654




    В результате получаем, что , значит,

    .

    Ответ: .
    Задача 2. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

    Решение. Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие состоит в получении нужного слова МАТЕМАТИКА. По классической формуле вероятности:

    ,

    где число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;

    – общее число возможных элементарных исходов испытания.

    Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу перестановок из 10 букв:






    Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются — 2 раза, А — 3 раза, Т — 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно:



    Таким образом,

    .

    Ответ: .
    Задача 3. Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени.

    Эта задача решается аналогично предыдущей.
    Задача 4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

    а) 2 белых шара;

    б) меньше чем 2 белых шара;

    в) хотя бы один белый шар.

    Решение.


    Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:







    .



    а) среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

    ,

    б) среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

    — среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,

    — среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:

    .

    Так как события и несовместны, по теореме сложения для несовместных событий:

    ;

    ,

    , ;

    .

    в) — среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:

    1 белый и 3 черных (), 2 белых и 2 черных (), 3 белых и 1 черный (), 4 белых (). Имеем

    .

    Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

    — среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

    , ;

    .

    Ответ. , ,.
    Задача 5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время выйдет из строя:

    а) только один элемент;

    б) хотя бы один элемент.

    Решение. Испытание, т. е. работу за время , нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

    а) — за время выходит из строя только один элемент:

    первый элемент выходит из строя;

    — второй элемент выходит из строя;

    — третий элемент выходит из строя;

    — первый элемент не выходит из строя;

    — второй элемент не выходит из строя;

    —- третий элемент не выходит из строя.

    .

    Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий и , и формулы и , получаем:





    По условию,

    , , ,

    учитывая, что , получаем:

    , ,



    Таким образом,

    .

    б) — за время выходит из строя хотя бы один элемент.

    Событие определяется словами «хотя бы один», значит, используем противоположное событие.

    — за время все элементы работают безотказно:

    ;

    ;

    .

    Ответ: , .
    Задача 6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй — 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

    а) все шары одного цвета;

    б) только три белых шара;

    в) хотя бы один белый шар.
    Р
    Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

    Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.
    ешение
    .

    а) — все вынутые шары одного цвета, т. е. они или все белые, или все черные.

    Определим для каждой урны все возможные события:

    — из первой урны вынуты 3 белых шара;

    — из первой урны вынуты 2 белых и 1 черный шар;

    — из первой урны вынуты 1 белый и 2 черных шара;

    — из первой урны вынуты 3 черных шара;

    — из второй урны вынуты 2 белых шара;

    — из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

    — из второй урны вынуты 2 черных шара.

    Значит, откуда, учитывая независимость и несовместность событий, получаем

    .

    Найдем количество элементарных событий и для первой и второй урн соответственно:

    , .

    Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

    , ,

    ,

    , ,

    .

    Следовательно,

    .

    б) — среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

    ;

    ;

    .
    в) — среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

    — среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

    ;

    ;

    .
      1   2   3   4
    написать администратору сайта