Главная страница
Навигация по странице:

  • Астраков, С. Н. А 91

  • ББК 22.16 УДК 517

  • Теорема 2.1

  • Теорема 4.1.

  • Теорема 4.3.

  • Теорема 4.5.

  • Учебное пособие Новосибирск 2014


    Скачать 1.18 Mb.
    НазваниеУчебное пособие Новосибирск 2014
    АнкорUchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20.pdf
    Дата17.05.2017
    Размер1.18 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаUchebnoe_posobie_Astrakov_S_N_20.pdf
    ТипУчебное пособие
    #7801
    страница1 из 7
      1   2   3   4   5   6   7

    МИНИСТЕРСТВО
    ОБРАЗОВАНИЯ
    И
    НАУКИ
    РФ
    НОВОСИБИРСКИЙ
    ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
    УНИВЕРСИТЕТ
    ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
    ФАКУЛЬТЕТ
    С. Н. Астраков, А. С. Астракова
    МАТЕМАТИКА
    для менеджеров и социологов
    Часть I
    Учебное пособие
    Новосибирск
    2014

    2
    ББК 22.16
    УДК 517
    А 91
    Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А. Е. Мамонтов
    Издание подготовлено в рамках реализации Программы развития госу-
    дарственного образовательного учреждения высшего профессионального
    образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–
    2018 годы.
    Астраков, С. Н.
    А 91
    Математика для менеджеров и социологов: учеб. пособие /
    С. Н. Астраков, А. С. Астракова ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск : РИЦ
    НГУ, 2014. – 68 с.
    ISBN 978-5-4437-0297-1
    Пособие написано на основе опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий на экономическом факультете. Содержание пособия соответствует программе годового курса «Математика» специальностей
    «Менеджмент» и «Социология». В первой части пособия приведены основные понятия и теоремы, что помогает сориентироваться в основных разделах курса. Во второй части представлены типовые задачи с указанием методов для их решений. Пособие можно использовать как для самостоятельной, так и для аудиторной работы студентов. В конце пособия приведена программа курса и общие рекомендации по изучению дисциплины и подготовке к экзамену.
    ББК 22.16
    УДК 517
    ISBN 978-5-4437-0297-1
    © Новосибирский государственный университет, 2014
    © С. Н. Астраков, А. С. Астракова,
    2014

    3
    ОГЛАВЛЕНИЕ
    ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................ 4
    I.
    ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ .................................................. 6 1.
    Множества и операции над ними. ....................................................... 6 2.
    Действительные числа .......................................................................... 7 3.
    Метод математической индукции ....................................................... 7 4.
    Предел последовательности ................................................................ 8 5.
    Предел функции. Непрерывность ..................................................... 12 6.
    Сравнение бесконечно малых функций ............................................ 14 7.
    Производная функции. Правила дифференцирования .................... 15 8.
    Дифференциал функции ..................................................................... 17 9.
    Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях ............ 19 10. Исследование поведения функций и построение графиков ........... 24 11. Неопределенный интеграл ................................................................. 26
    II. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ............................................................................... 30 1.
    Типовые задания I семестра ............................................................... 30 2. Типовые задания II семестра ............................................................. 38
    III. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................ 47 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы ....... 47 2. Цели освоения дисциплины «Математика» ..................................... 47 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ......................................................................................... 48 4. Структура и содержание дисциплины «Математика» .................... 49 5. Образовательные технологии ............................................................ 57 6. Способы оценки успеваемости студентов ........................................ 58 7. Образцы экзаменационных билетов по математике ........................ 61 8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины ............................ 69

    4
    ПРЕДИСЛОВИЕ
    Настоящее пособие написано на основе опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий по дисциплине «Математика» на первом курсе экономического факультета
    (специальности
    «Менеджмент» и «Социология»). Оно предназначено как для студентов (в качестве «путеводителя» по основному материалу), так и для преподавателей (как руководство для учебного процесса).
    Пособие содержит основные понятия, теоремы и типовые задачи.
    Его цель – активное и неформальное усвоение студентами базового материала. При формулировке типовых задач делается акцент на то, что для группы задач одного задания существует соответствующий
    метод решения (по аналогии с задачами управления – план действий).
    В главе I – «Основные понятия и теоремы» – приводятся опреде- ления и теоретические сведения. Формулировки теорем и определений в большинстве случаев соответствуют книге
    В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа».
    Этих сведений достаточно, чтобы решать практические задачи по дисциплине. Понятно, что доказательства теорем придется посмотреть в лекциях или учебниках.
    В главе II – «Типовые задания» – представлены типовые задачи с указанием методов для их решений. Такой подход предполагает одновременно усваивать теоретические положения и развивать практические навыки решения математических задач. Схема
    «Сначала мысль, потом действие» является правильной в любой деятельности. Более сложные задачи по данным и смежным темам можно найти в рекомендованных задачниках. Стоит подчеркнуть, что умение решать приведенные типовые задания и объяснять применяемые методы уже гарантирует получение студентами на экзамене, по крайней мере, хорошей оценки. Студенты менеджеры и социологи, у вас есть законное право требовать это.
    В главе III пособия приведена программа курса и общие рекомен- дации по методике изучения дисциплины. Эту часть материала целесообразно использовать для подготовки к экзаменам первого и второго семестра. В конце главы находятся примерные варианты контрольных работ (чтобы можно было представить «сложность-

    5 простоту» заданий) и образцы экзаменационных билетов. Практи- ческие задачи экзаменационных билетов составляются, как правило, в соответствии с типовыми заданиями главы II.
    Пособие можно использовать как для самостоятельной, так и для аудиторной работы студентов. Надеемся, что пособие будет полез- ным для учебного процесса. Все замечания и пожелания (от студентов и преподавателей) с благодарностью постараемся учесть в следующих изданиях.
    Авторы

    6
    I.
    ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
    1.
    Множества и операции над ними. Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемых элементами
    множества. Наиболее часто используются следующие обозначения:
    A
    a

    – элемент a принадлежит множеству А;
    A
    a

    – элемент a непринадлежит множеству А;
    Ø – пустое множество (множество без элементов);
    B
    A

    – множество А содержится во множестве В (А есть подмножество В);
    А = В – равные множества
    )
    ,
    (
    A
    B
    B
    A


    Два основных способа задания множеств.
    (1)
    Непосредственное перечисление всех элементов множества А, т. е.


    1 2
    ,
    ,...,
    n
    A
    a a
    a

    (2)
    Определение множества А как подмножества некоторого основного множества Т, обладающее свойством α, т. е.


    : ( )
    A
    x
    T
    x



    , где запись
    )
    (x

    означает, что элемент х обладает свойством α.
    Операции над множествами.
    1.
    Объединение множеств А и В:


    : или
    A
    B
    x x
    A
    x
    B
     


    2.
    Пересечение множеств А и В:


    : и
    A
    B
    x x
    A
    x
    B
     


    3.
    Разность множеств А и В:


    \
    : и
    A B
    x x
    A
    x
    B



    4.
    Дополнение множества А до некоторого универсального множества Т:

     

    :
    :
    \
    A
    x x
    A
    x x
    T A




    Свойства операций (законы).
    Рефлексивность:
    ( )
    A
    A

    Двойственность:
    B
    A
    B
    A



    ;
    B
    A
    B
    A



    ;
    B
    A
    B
    A



    Дистрибутивность:
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    C
    B
    C
    A
    С
    B
    A






    ;
    (
    )
    A
    B
    C

     
    (
    )
    (
    )
    A
    C
    B
    C





    7
    2.
    Действительные числа. Любое действительное (вещественное) число а представимо в виде бесконечной десятичной дроби:
    0 1
    2
    ,
    ,
    ,...,
    ,...
    n
    a
    a a a
    a
     
    Рациональные числа представимы в виде периодических, а
    иррациональные – в виде непериодических десятичных дробей.
    Рациональные числа можно записывать и конечной десятичной дробью, если в периоде стоит цифра 0 или 9. Например,
    )
    0
    (
    5
    ,
    0 500
    ,
    0 5
    ,
    0 2
    /
    1



    или
    )
    9
    (
    4
    ,
    0 499
    ,
    0 5
    ,
    0 2
    /
    1



    Пусть Х – непустое множество действительных чисел.
    Определение. Множество Х называется ограниченным сверху
    (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого числа х из множества Х выполняется неравенство
    M
    x

    (
    m
    x

    ). М называется верхней гранью множества Х, mнижней гранью.
    Использование символьных обозначений:
    M
    X
    x
    R
    M





    x
    – ограниченность сверху; m
    x





    X
    x
    R
    m
    – ограниченность снизу;
    M
    X
    x
    R
    M





    x
    – неограниченность сверху; m
    x





    X
    x
    R
    m
    – неограниченность снизу.
    Определение. Число М
    0
    называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества Х, если выполняются два условия:
    (1)
    0
    x
    M
    X
    x



    ; (2)
    0
    x
    M
    M
    x
    X
    M
     
     

    Для точной верхней грани используется обозначение: sup
    0
    X
    M

    Аналогично определяется точная нижняя грань m
    o ограниченного снизу множества Х; для нее используется обозначение:
    0
    inf
    m
    X

    Теорема 2.1. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество
    Х имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
    3.
    Метод
    математической
    индукции.
    Чтобы доказать утверждение
    )
    (n

    для любого натурального числа n > n
    o
    , достаточно показать следующее:
    (1)
    утверждение
    )
    (
    o
    n

    является верным (база индукции);
    (2)
    предполагая, что верно утверждение
    )
    (k

    , o
    n
    k

    , доказать верность утверждения
    )
    1
    (

    k

    (индукционный переход).

    8
    С помощью метода математической индукции можно доказать следующие утверждения.
    )
    (
    1
    n

    :
    1
    и
    1
    )
    1
    (








    N
    n
    nx
    x
    n
    (неравенство Бернулли).
    )
    (
    2
    n

    :
    (
    1)
    1 2 3 ...
    2
    n n
    n
    n
    N

        
     
    )
    (
    3
    n

    :
    2 2
    2 2
    (
    1)(2 1)
    1 2
    3 6
    n n
    n
    n
    n
    N



      

     
    )
    (
    4
    n

    :
    1 3 2
    1 1
    2 4 2
    2n 1
    n
    n
    N
    n

      

     

    )
    (
    5
    n

    :
    2
    ,
    1 3
    1 2
    1 1






    n
    n
    n
    4.
    Предел последовательности. Если каждому натуральному n поставлено в соответствие некоторое число x
    n
    , то говорят, что определена
    числовая
    последовательность
    (или просто
    последовательность)
    ,
    ...,
    ,
    ,
    ,
    3 2
    1
    n
    x
    x
    x
    x
    . Кратко ее обозначают символом
     
    n
    x
    или
     
    n
    x
    . Число x
    n
    называют членом (элементом)
    последовательности, а nномером члена последовательности.
    Последовательности


    n
    n
    y
    x

    ,


    n
    n
    y
    x

    ,


    n
    n
    y
    x
    ,






    n
    n
    y
    x
    называются соответственно суммой, разностью, произведением и
    частным последовательностей
     
    n
    x
    и
     
    n
    x
    (для частного требуют, чтобы
    0

    n
    y
    ).
    Определение. Последовательность
     
    n
    x
    называется ограниченной, если
    0


    M
    такое, что
    n
    n x
    M


    Определение. Последовательность
     
    n
    x
    называется неограничен-
    ной, если
    0


    M
    M
    x
    n
    n


    Определение. Число а называется пределом последовательности
     
    n
    x
    , если
    N



    0

    такое, что





    a
    x
    N
    n
    n
    Обозначение:
    a
    x
    n
    n



    lim
    Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предел, – расходящейся.

    9
    Теорема 4.1. Сходящаяся последовательность имеет только
    один предел.
    Теорема 4.2 (необходимое условие сходимости последова-
    тельности). Сходящаяся последовательность является ограни-
    ченной.
    Определение. Последовательность
     
    n
    x
    называется бесконечно
    малой, если
    0
    lim



    n
    n
    x
    Определение. Последовательность
     
    n
    x
    называется бесконечно
    большой, если
    0
    M
    N
     

    такое, что
    n
    n
    N
    x
    M
     

    Обозначение:




    n
    n
    x
    lim
    Теорема 4.3. Сумма двух бесконечно малых последователь-
    ностей является бесконечно малой последовательностью.
    Теорема 4.4. Произведение бесконечно малой последователь-
    ности на ограниченную является бесконечно малой последова-
    тельностью.
    Теорема 4.5. Если имеется бесконечно большая последователь-
    ность
     
    n
    x
    , то, начиная с некоторого номера n,определена
    последовательность


    1/
    n
    x
    , которая является бесконечно малой.
    Если имеется бесконечно малая последовательность
     
    n
    x
    и
    0


    n
    x
    n
    , то определена последовательность


    1/
    n
    x
    , которая
    является бесконечно большой.
    Теорема 4.6. Пусть
    a
    x
    n
    n



    lim
    и
    b
    x
    n
    n



    lim
    . Тогда
    (1)
    (
    )
    lim
    n
    n
    n
    x
    y
    a b
    

     
    ; (2)
    (
    )
    lim
    n
    n
    n
    x
    y
    a b
    

     
    ;
    (3)
    (
    /
    )
    /
    lim
    n
    n
    n
    x
    y
    a b
    

    , если
    0
    b

    и
    0
    n
    n
    x


    Теорема 4.7. Если
    a
    x
    n
    n



    lim
    и, начиная с некоторого номера n,
    n
    x
    b

    , то
    a
    b

    . Если
    a
    x
    n
    n



    lim
    и, начиная с некоторого номера
    n,
    n
    x
    b

    , то
    a
    b


    10
    Теорема 4.8 (о трех последовательностях). Если
    a
    x
    n
    n



    lim
    ,
    a
    y
    n
    n



    lim
    и, начиная с некоторого номера
      1   2   3   4   5   6   7
    написать администратору сайта