Главная страница
Навигация по странице:

  • Казанский (Приволжский) федеральный университет Набережночелнинский институт (филиал) Д. Н. Демьянов Математическое моделирование технических систем

  • Учебно-методическое пособие Набережные Челны 2016 УДК 51-7 ББК 22.1

  • Асанов А. З.

  • УДК 51-7 ББК 22.1 Ó Набережночелнинский институт КФУ, 2016Ó Д. Н. Демьянов, 2016 3Оглавление

  • Лабораторная работа № 1. Разработка и исследование поэлементной математической модели динамической системы Цель работы

  • Задание

  • Отчет о работе должен содержать

  • Варианты заданий

  • Динамическая система

  • Лабораторная работа № 2. Разработка и исследование модели динамической

  • Цель работы

  • Математическое моделирование технических систем. Учебнометодическое пособие Набережные Челны 2016 удк 517 ббк 22. 1


    Скачать 4.11 Mb.
    НазваниеУчебнометодическое пособие Набережные Челны 2016 удк 517 ббк 22. 1
    АнкорМатематическое моделирование технических систем
    Дата14.01.2020
    Размер4.11 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаМатематическое моделирование технических систем.pdf
    ТипУчебно-методическое пособие
    #104067
    страница1 из 5

    Подборка по базе: -Пед. Шеберл. пособие-1.pdf, Madsen R., Madsen S. - OpenGL Game Development By Example - 2016, 1 класс программа 2016-2017.doc, Учебно-методическое пособие Основы языка программирования C#.pdf, Методические пособие C# (1).pdf, БИЛЕТЫ ПО РЫНКУ ЦЕННЫХ БУМАГ 2016.docx, тезис клип пед 2016 весна.docx, Тортбаева Д Уч пособие .doc, Вайсеро К.И. Основы СКД. учебное пособие. 2016.pdf, Курсовая работа. Пособие.doc.
      1   2   3   4   5

    Министерство образования и науки Российской Федерации
    Казанский (Приволжский) федеральный университет
    Набережночелнинский институт (филиал)
    Д. Н. Демьянов
    Математическое моделирование
    технических систем
    Учебно-методическое пособие
    Набережные Челны
    2016

    УДК 51-7
    ББК 22.1
    Печатается по решению редакционно-издательского совета
    Набережночелнинского института (филиала)
    Казанского (Приволжского) федерального университета
    Рецензенты:
    Асанов А. З., докт. техн. наук, профессор
    Каримов В. С., канд. техн. наук, доцент
    Демьянов Д. Н. Математическое моделирование технических систем: учебно-методическое пособие / Д. Н. Демьянов. – Набережные
    Челны : изд.-полиграф. центр Набережночелнинского ин-та Казан.
    федер. ун-та, 2016. – 64 с.
    В учебно-методическом пособии приведены необходимые теоретический, алгоритмический, программный материалы для получения знаний и навыков решения задач математического моделирования при исследовании технических систем, выполнения лабораторных работ по дисциплинам «Математическое моделирование», «Моделирование систем».
    Пособие разработано на кафедре "Системный анализ и информатика" и предназначено для организации и проведения лабораторных работ студентов по направлению подготовки 01.03.02
    "Прикладная математика и информатика" и направлению подготовки
    27.03.03 "Системный анализ и управление".
    Ил. 13, список лит. 6 назв.
    УДК 51-7
    ББК 22.1
    Ó Набережночелнинский институт КФУ, 2016
    Ó Д. Н. Демьянов, 2016

    3
    Оглавление
    Введение.......................................................................................................4
    Лабораторная работа № 1. Разработка и исследование поэлементной математической модели динамической системы..............5
    Лабораторная работа № 2. Разработка и исследование модели динамической системы в пространстве состояний .................................11
    Лабораторная работа № 3. Разработка и исследование вход- выходного описания динамической системы..........................................21
    Лабораторная работа № 4. Разработка и исследование математической модели динамической системы с использованием интегрального преобразования Лапласа ..................................................33
    Список источников....................................................................................48
    Приложение 1 ............................................................................................49
    Приложение 2 ............................................................................................59
    Приложение 3 ............................................................................................60

    4
    Введение
    Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов, стремящихся закрепить теоретические знания и овладеть практическими навыками построения и исследования математических моделей динамических систем. В пособии рассмотрены различные способы математического описания структуры и законов функционирования динамических систем: поэлементное описание,
    вход-выходное описание, модель в пространстве состояний. Описаны принципы построения математических моделей динамических систем,
    способы перехода от одной формы описания к другой, а также методы использования различных форм представления моделей для изучения протекающих в системе процессов.
    Пособие разбито на 4 раздела, в каждом из которых рассматривается та или иная форма математического описания динамической системы, приводится краткая теоретическая справка,
    разбирается методический пример, а также даются варианты заданий для самостоятельного выполнения.

    5
    Лабораторная работа № 1.
    Разработка и исследование поэлементной
    математической модели динамической системы
    Цель работы: практическое применение знаний в области математики и физики при создании поэлементной математической модели процессов, происходящих в электрической системе.
    Задание: разработать поэлементную математическую модель динамической системы согласно индивидуальному варианту.
    Этапы работы:
    1. Изучить необходимый теоретический материал.
    2. Изучить электрическую схему заданного устройства.
    3. Составить компонентные уравнения.
    4. Составить топологические уравнения.
    5. Составить поэлементную математическую модель.
    6. Оценить разрешимость полученной системы уравнений.
    7. Оформить отчет по лабораторной работе.
    Отчет о работе должен содержать:
    1. Электрическую схему исследуемого устройства.
    2. Компонентные уравнения.
    3. Топологические уравнения.
    4. Поэлементную математическую модель динамической системы.
    5. Обоснованное заключение о разрешимости полученной системы уравнений.
    6. Выводы и заключения по лабораторной работе.
    Варианты заданий
    Электрические схемы исследуемых устройств представлены в приложении. Номер варианта задаётся преподавателем.
    Теоретическая справка
    Динамическая система − это система, изменяющая своё состояние с течением времени под влиянием внешних воздействий.

    6
    Математическая модель динамической системы − совокупность математических уравнений, формул, соотношений, описывающая исследуемые процессы в системе.
    Математическое описание динамических систем и их элементов различной физической природы может быть выражено в различных формах (например, дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения).
    Существуют два основных подхода к построению математических моделей: экспериментальный (эмпирический) и теоретический
    (аналитический). Суть первого подхода заключается в обработке и анализе известных реакций системы на входные воздействия. При втором подходе модель строится путём анализа математической записи физических законов, описывающих поведение и взаимосвязи элементов системы.
    В данной работе рассматривается аналитический подход к построению математических моделей. При таком подходе систему
    1) разделяют на элементы и составляют уравнения, описывающие поведение (движение) каждого из этих элементов;
    2) с помощью специальных уравнений устанавливают связи между элементами.
    Уравнения, описывающие поведение отдельных элементов системы, называются компонентными. Компонентные уравнения составляются на основании анализа физических, химических и иных процессов, происходящих в элементах системы, и применения фундаментальных законов сохранения энергии и вещества,
    конкретизированных для различных отраслей естествознания (законы механики, электротехники, оптики и т.д.). Например, компонентными уравнениями (уравнениями элементов) в электротехнике являются уравнения связывающие ток и напряжение электротехнического элемента: U
    RI
    =
    для активного сопротивления;
    c
    c
    dU
    I
    C
    dt
    =
    для электрической ёмкости;
    L
    L
    dI
    U
    L
    dt
    =
    для индуктивности и т.д.

    7
    Связи между элементами в системе описываются с помощью так называемых
    топологических
    уравнений (уравнений связи),
    описывающих взаимосвязь между собой переменными,
    принадлежащими различным элементам. Примерами топологических уравнений для электрических схем являются первый и второй законы
    Кирхгофа, конкретная запись которых для каждой электрической схемы строго индивидуальна и зависит от самой схемы соединения
    (топологии) электрических элементов друг с другом.
    Совокупность уравнений элементов и уравнений связи носит название поэлементной математической модели объекта.
    Пример
    Требуется построить математическую модель динамической системы, электрическая схема которой приведена на рисунке 1.1.
    Воспользуемся законом Ома для участка цепи, записав компонентные уравнения для каждого элемента заданной электрической схемы:
    (1.1)
    1 1 1 2
    2 2
    3 3 3 1
    2 1
    1 1
    2 2
    1 1
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    С
    С
    L
    С
    С
    L
    U
    i R
    U
    i R
    U
    i R
    dU
    dU
    di
    i
    C
    i
    C
    U
    L
    dt
    dt
    dt
    =
    =
    =
    ì
    ï
    í
    =
    =
    =
    ïî
    Топологические уравнения для заданной электрической схемы можно получить, воспользовавшись законами Кирхгофа.
    Первый закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.
    Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений по замкнутому контуру равна сумме ЭДС в этом контуре.
    Согласно первому закону Кирхгофа:
    (1.2)
    2 1
    1 1
    2 1
    1 1
    2 2
    1 3
    ;
    ;
    ;
    R
    С
    R
    L
    С
    С
    R
    L
    С
    R
    L
    R
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    =
    +
    ì
    ï = + +
    ï
    í = +
    ï
    ï =
    î

    8
    Рисунок 1.1 – Схема исследуемой электрической цепи
    Согласно второму закону Кирхгофа:
    (1.3)
    2 1
    1 3
    1 2
    1 2
    1 1
    2 1
    3 1
    2 1
    1 3
    1 2
    1 2
    ;
    0;
    0;
    ;
    ;
    0 .
    R
    R
    L
    R
    С
    С
    R
    С
    R
    С
    L
    R
    R
    C
    L
    R
    С
    R
    R
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    +
    +
    +
    =
    ì
    ï
    -
    -
    =
    ï
    ï
    -
    =
    ï
    í
    +
    +
    =
    ï
    ï
    +
    +
    +
    =
    ï
    -
    -
    =
    ïî
    Кроме того, очевидно, что
    3 2
    R
    U
    U
    =
    Следует оговориться, что не все уравнения, полученные с помощью законов Кирхгофа и записанные здесь, являются независимыми. Если
    b – число ветвей в электрической цепи, b
    ит
    – число ветвей с источником тока, y – число узлов в электрической цепи, то (
    )
    ит
    b b
    -
    – число неизвестных токов,
    (
    1)
    y
    -
    – число независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа, (
    ) (
    1)
    ит
    b b
    y
    -
    -
    - – число независимых уравнений по
    2-му закону Кирхгофа.
    В нашем примере
    6
    b
    = ,
    0
    ит
    b
    = ,
    4
    y
    =
    , поэтому в системе (1.2)
    присутствуют 3 независимых уравнения (третье уравнение является

    9
    линейной комбинацией двух других), а в системе (1.3) – 3 независимых уравнения.
    Дополнив компонентные уравнения (1.1) независимыми уравнениями из (1.2) и (1.3), получим поэлементную математическую модель (поэлементное описание) динамической системы:
    (1.4)
    1 1 1
    2 2
    2 3 3 3
    1 2
    1 1
    1 2
    2 1
    1 1
    1 2
    2 1
    1 1
    1 3
    2 1
    1 3
    1 2
    1 2
    1 1
    0;
    0;
    0 ;
    0;
    0;
    0;
    0;
    0;
    0;
    ;
    0 ;
    0 .
    R
    R
    R
    R
    R
    R
    С
    С
    L
    С
    С
    L
    С
    R
    R
    С
    С
    R
    L
    L
    R
    R
    R
    L
    R
    С
    С
    R
    С
    R
    i R U
    i R U
    i R
    U
    dU
    dU
    di
    C
    i
    C
    i
    L
    U
    dt
    dt
    dt
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    -
    =
    -
    =
    -
    =
    ì
    ï
    ï
    -
    =
    -
    =
    -
    =
    ï
    ï + - =
    +
    +
    -
    =
    -
    =
    í
    ï
    +
    +
    +
    =
    ï
    -
    -
    =
    ï
    ï
    -
    =
    î
    Проанализируем принципиальную разрешимость полученной системы. Мы имеем одно входное воздействие – напряжение
    1
    U
    и 12
    переменных, описывающих состояние элементов рассматриваемой системы (для каждого из 6 элементов рассматриваемой системы его состояние однозначно характеризуется значениями тока и напряжения).
    Обозначим операцию дифференцирования линейным оператором p.
    Тогда система (1.4) может быть записана в матричном виде:
    1 2
    3 1
    2 1
    1 0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 1 0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 1
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    1 0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 1
    0 0
    0 0
    0 0
    1 0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 1
    1 0 1
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    1 0
    0 1
    1 1
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    1 0 0
    1 1
    1 1
    0 0
    1 0
    0 0
    0 0
    0 0
    1 0 1
    1 0
    0 0
    0 0
    0 0
    1 0 0
    1 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0
    R
    R
    R
    pC
    pC
    pL
    -
    æ
    ö
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    -
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    ç
    -
    -
    çç
    -
    è
    ø
    1 2
    3 1
    2 1
    1 2
    3 1
    1 2
    1 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    R
    R
    R
    С
    С
    L
    R
    R
    R
    С
    С
    L
    U
    U
    U
    U
    U
    U
    i
    i
    i
    i
    U
    i
    i
    æ
    ö æ ö
    ç
    ÷ ç
    ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç
    ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    =
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç
    ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷ ç
    ÷
    ç
    ÷ ç ÷
    ç
    ÷
    ÷
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    ÷
    ç
    ÷
    ÷
    ç
    ÷
    ç
    ÷
    è
    ø
    è
    ø

    10
    Вычислим определитель матрицы коэффициентов из левой части полученного уравнения. Получим:
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    3 2
    1 1 2 1 2 1
    1 1 2 1 2
    2 1
    2 1 2 3
    1 2
    2 3
    2 1 3 1 1 2 1 1 3 1
    2 3
    p L C C R R
    p L C R
    C R
    C R
    C C R R R
    p L
    C R R
    C R R
    C R R
    C R R
    R
    R
    R
    D =
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    Этот определитель не равен нулю. Следовательно, рассматриваемая система уравнений имеет единственное решение.
    Таким образом, полученная поэлементная математическая модель динамической системы может быть использована для решения практических задач.
    Контрольные вопросы
    1. Что такое динамическая система?
    2. Что называется математической моделью динамической системы?
    3. Какие основные подходы к построению математической модели динамической системы существуют?
    4. Какой общий принцип построения математических моделей динамических систем при теоретическом подходе?
    5. Что называют компонентными уравнениями? Каков их физический смысл?
    6. Что называют топологическими уравнениями? Каков их физический смысл?
    7. Что называют поэлементной математической моделью?

    11
    Лабораторная работа № 2.
    Разработка и исследование модели динамической
    системы в пространстве состояний
    Цель работы: практическое применение знаний в области математики и физики при исследовании математических моделей процессов различной природы.
    Задача: провести исследование математической модели заданного процесса.
    Этапы работы:
    1. Изучить необходимый теоретический материал.
    2. Для заданной электрической схемы выбрать переменные, однозначно характеризующие состояние динамической системы.
    3. Сформировать математическую модель исследуемого объекта в пространстве выбранных переменных, используя полученное в лабораторной работе № 1 поэлементное описание.
    4. Определить числовые матрицы коэффициентов модели в пространстве состояний при заданных значениях параметров элементов.
    5. Определить реакцию динамической системы на единичный ступенчатый входной сигнал при нулевых начальных условиях.
    6. Оформить отчет по лабораторной работе.
    Отчет о работе должен содержать:
    1. Электрическую схему исследуемого устройства.
    2. Поэлементную математическую модель динамической системы.
    3. Обоснованный выбор переменных состояния динамической системы.
    4. Модель динамической системы в пространстве состояний.
    5. Числовые матрицы коэффициентов модели в пространстве состояний при заданных значениях параметров элементов.
    6. График реакции динамической системы на единичный ступенчатый входной сигнал при нулевых начальных условиях.

    12 7. Выводы и заключения по лабораторной работе.
    Варианты заданий
    Совпадают с тем, что были заданы при выполнении лабораторной работы № 1.
    Параметры элементов электрической схемы задаются преподавателем.
    Теоретическая справка
    Для любой динамической системы можно определить некоторую совокупность переменных
    ( )
    i
    x t
    , которая в полной мере характеризует состояние системы в каждый момент времени. Такие переменные носят название переменных состояния динамической системы.
    Пространство (область) возможных значений переменных состояния называется пространством состояний динамической системы. Количество независимых переменных
    ( )
    i
    x t
    ,
    характеризующих состояние системы, определяет размерность пространства состояний.
    Формально состояние динамической системы можно представить в виде вектора
    ( )
    X t
    в пространстве состояний, а переменные состояния
    ( )
    i
    x t
    – как проекции этого вектора на координатные оси пространства.
    Известно, что любая линейная стационарная динамическая система может быть описана в пространстве состояний обобщенными уравнениями вида:
    (2.1)
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ;
    ;
    X t
    AX t
    BU t
    Y t
    CX t
    DU t
    ì
    =
    +
    ï
    í
    =
    +
    ïî
    &
    где
    ( )
    1 2
    [ ( ), ( ), , ( )]
    T
    n
    X t
    x t x t
    x t
    =
    K
    – вектор переменных состояний,
    ( )
    1 2
    [ ( ), ( ), , ( )]
    T
    r
    U t
    u t u t
    u t
    =
    K
    – вектор входных воздействий,
    ( )
    1 2
    [ ( ), ( ), , ( )]
    T
    k
    Y t
    y t y t
    y t
    =
    K
    – вектор выходных сигналов;
    nn
    A
    ,
    nr
    B
    ,
    kn
    C
    ,
    kr
    D
    – постоянные матрицы указанных размерностей.
    Элементы матриц определяются структурой и параметрами конкретной динамической системы.

    13
    Первое уравнение из (2.1) называется
      1   2   3   4   5


    написать администратору сайта