Главная страница
Навигация по странице:

  • 8.1.2. характеристика содержания , места и роли основных алгебраических понятий в начальном обучении математике

  • Математическое выражение.

  • Числовое значение математического выражения.

  • Числовые равенства и неравенства.

  • Царева С.Е. МПМ в НШ Глава 8-9. Рецензент доктор педагогических наук, членкорреспондент раен


    Скачать 0.53 Mb.
    НазваниеРецензент доктор педагогических наук, членкорреспондент раен
    АнкорЦарева С.Е. МПМ в НШ Глава 8-9.docx
    Дата11.04.2017
    Размер0.53 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЦарева С.Е. МПМ в НШ Глава 8-9.docx
    ТипУчебное пособие
    #4696
    страница1 из 7
      1   2   3   4   5   6   7





    УДК ББК Ц

    Рецензент:

    доктор педагогических наук, член-корреспондент РАЕН,

    заслуженный деятель науки и образования, профессор В. Ф. Ефимов

    (кафедра методики преподавания естественных наук Московского государственного областного гуманитарного института

    Царева СЕ.

    М Методика преподавания математики : учеб. пособие для

    учреждений высш. проф. образования / С. Е. Царева. — М. : Издательский центр «Академия», 2014. — 496 с. — (Сер. Бакалавриат).

    ISBN 978-5-4468-

    Учебное пособие написано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки «Педагогическое образование», профиль «Начальное образование» (квалификация «бакалавр»).

    В пособии дана характеристика роли, места и содержания методической подготовки будущего учителя начальных классов к обучению учащихся математике, изложен теоретический и практический материал для овладения студентами педагогической деятельностью обучения математике младших школьников в соответствии с современными педагогическими подходами в условия действия ФГОС НОО и многообразия учебных программ и учебных комплектов. Содержание пособия согласуется с учебниками по математике для названного профиля.

    Для студентов учреждений высшего профессионального образования. Будет полезно также студентам педагогических училищ и колледжей, студентам математических факультетов педагогических вузов.

    УДК ББК

    Оригинал-макет данного издания является собственностью

    Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается

    © Царева С. Е., 2013

    © Образовательно-издательский центр «Академия», 2013
    ISBN 978-5-4468- © Оформление. Издательский центр «Академия», 2013

    2
    Гл а в а 8

    Математические выражения, равенства, неравенства, уравнения и методика их изучения в начальной школе

    8.1. Алгебраическая линия в начальном обучении математике

    8.1.1. особенности алгебры как раздела математики

    Основное содержание школьной математики традиционно делят на арифметику, алгебру и геометрию. Исаак Ньютон назвал алгебру «всеобщей арифметикой». Алгебра, действительно возникла как обобщение арифметики. Современная алгебра это обобщение вывела на более высокий уровень обобщения. А вот та ее часть, которая изучается в школе, действительно является обобщением арифметики — науки о числах и действиях с ними.

    Одно из направлений такого обобщения — рассмотрение изучаемого в начальной школе множества целых неотрицательных чисел как математической структуры. Напомним, математической структурой в математике называют множество с заданными на нем отношениями и операциями. Основными математическими структурами являются алгебраические структуры, структуры порядка и топологические структуры. Рассматриваемое в начальной школе множество целых неотрицательных чисел (натуральных чисел и нуля) с заданными на нем арифметическими действиями сложения и умножения является алгебраической структурой. Это же множество с отношениями «меньше (больше)» является структурой порядка. Поэтому при изучении чисел и действий с ними есть возможность при обобщении сведений о числах рассматривать свойства множества натуральных чисел и нуля, отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям и отношениям, как это принято для рассмотрения множества как математической структуры. Именно такое обобщение рассматривалось в гл. 7. Заметим, что это направление реализации алгебраической линии начального курса математики в методической литературе еще не было описано. Между тем оно хорошо работает

    435
    на приобщение детей к сущности математики, математических методов познания, формирует структурность мышления и исследовательские способности.

    Второе направление обобщения арифметического материала — создание языка обобщенного описания чисел, отношений между ними и арифметических действий.

    В арифметике числа выступают под своими собственными индивидуальными именами. Арифметика «соткана» из частных случаев. В арифметике запись любого арифметического действия рассматривается как задача, требование которой — найти по двум данным числам результат действия — третье число, «одетое» в общепринятые «одежды» устного названия и письменной записи в десятичной системе. В арифметике основная, единственная, наиглавнейшая задача — находить результаты действий, разрабатывать способы, алгоритмы вычислений. Общие утверждения — свойства, правила — рассматриваются в арифметике, прежде всего, как инструменты вычислений. Все прикладные задачи, содержащие числа, в арифметике преобразуются в последовательность простых задач, математической моделью каждой из которых является арифметическое действие с двумя известными числами.

    Однако, есть текстовые сюжетные задачи, в которых задачная ситуация такова, что выражается арифметическим действием, в котором компонентом действия является неизвестное число, а другим компонентом и результатом — известные числа. Пример такой задачи был приведен «Когда Лена отдала 3 значка, то у нее осталось 4 значка. Сколько значков было у Лены?». Ситуация описывается действием вычитания, но вычитать нужно из неизвестного числа, которое и нужно найти:? -3 = 4. Нередки также практические, текстовые сюжетные задачи с несколькими числовыми данными, содержание которых таково, что не удается составить последовательность пар известных чисел, результат последнего из которых давал бы ответ на вопрос задачи. А если обозначить искомое, неизвестное число каким-либо знаком, то легко составляется равенство, содержащее это неизвестное.

    Еще одна ситуация, требующая обобщенной символьной записи. Свойства арифметических действий, свойства отношений между числами справедливы для всех чисел. Для показа этого в математической записи мы не можем использовать цифровое обозначение чисел. Чтобы свойства чисел могли быть записаны не только на естественном языке, но и в виде короткой символической записи, необходимо изобрести соответствующие знаки. Кроме того, интересно было бы также посмотреть на «царство чисел» сверху, чтобы представить, как оно в целом устроено. Для этого тоже нужны обозначения чисел, с помощью которых можно на письме изображать все числа или многие, в том числе неизвестные.

    + 1 стр.

    436
    Формой такого «взгляда сверху», формой обобщения, могла бы быть специальная система обозначения чисел, специальный язык — «одевание» чисел в такие специальные «одежды», чтобы можно было говорить об общих качествах и свойствах чисел, действий и отношений с ними. В этой системе знак мог бы обозначать некоторое произвольное число из заданного множества чисел. Тогда появляется возможность исследовать и другие качества и свойства, закономерности, характеризующие множество чисел как математическую структуру.

    И требуемый язык описания числового множества с заданными на нем арифметическими действиями графическими символами и знаками был создан. Из истории математики известно, что к современному языку алгебры человечество шло тысячелетия. Современная алгебра, представленная в школьном курсе математики — это раздел математики, который ассоциируется с математическими записями, в которых из одних математических выражений получают другие, от одних равенств и неравенств переходят по определенным правилам к другим.

    Язык алгебры — это язык математических выражений, равенств и неравенств. Это язык письменный. Как у всякого письменного языка в нем есть алфавит, в который входят буквы и цифры, которыми обозначаются числа, и знаки действий и знаки отношений. В этом языке есть разные виды слов, определяемые по внешнему виду: слова-»существительные» — математические выражения и числа; «глаголы», записываемые знаками арифметических действий, «наречия», обозначаемые знаками отношений. Этот язык содержит и правила записи, и правила чтения, что свойственно любым языкам. В этом языке есть и некоторые другие признаки языка, например слова-синонимы — разные числовые или буквенные выражения с равными числовыми значениями.

    В качестве обозначений чисел в алгебре наряду с цифрами принято использовать малые латинские буквы, иногда некоторые малые греческие буквы. Так как выбор тех или иных знаков — это дело рук человеческих, то для обобщения каких-либо суждений о числах в процессе обучения мы вправе изобретать или выбирать любые готовые знаки такие, какие нам хочется. В гл. 7, а также при рассмотрении алгоритмов показаны примеры такого выбора. Выбор, изобретение знаков важно для понимания смысла обобщающих знаков. Умение вводить собственные или самостоятельно выбранные обозначения чисел для высказывания некоторого обобщающего утверждения — важное познавательное универсальное учебное действие. В случаях, когда наши записи представляются кому-то вне нашей учебной работы и кто может не понять наши знаки, или когда есть требование использовать только общепринятые обозначения или цель нашей учебной работы — научиться использовать общепринятые обозначения, мы должны пользоваться общепринятыми обозначениями.

    437
    Систему общепринятого буквенного обозначения чисел и действий с ними в методической литературе называют буквенной символикой. Буквенная символика — это буквы и способы обозначения ими чисел, отношений и действий с ними. Основная функция буквенной символики — выражать некоторое обобщенное знание о числах. Так как в обучении важно знание не только ставшее, но и становящееся, а потому не только сложившаяся система обозначений, но и процесс ее становления через применение произвольно выбранных знаков с той же основной обобщающей функцией, то в дальнейшем будем говорить не о буквенной символике, а об обобщающей символике. Обобщающая символика для обозначения чисел и записи утверждений относительно любых или любого числа из некоторого рассматриваемого множества это выбранные или изобретенные учащимися символы и общепринятые латинские буквы (буквенная символика), обозначающие произвольное число, любо е число из некоторого рассматриваемого множества.

    Обратим внимание на то, что обозначению чисел посвящен раздел математики «Системы счисления». Здесь рассматриваются обозначения чисел другого рода и назначения. Система счисления задает каждому числу индивидуальную, «эксклюзивную одежду», чтобы именно про это число можно было все узнать, именно с этим числом выполнять арифметические и другие действия. А обозначения в алгебре — это «одевание» чисел в такие одежды, чтобы были подчеркнуты не различия, не индивидуальность, а одинаковость, общность, а если и индивидуальность, то на фоне общего, как, например, корень уравнения.

    8.1.2. характеристика содержания, места и роли основных алгебраических понятий в начальном обучении математике

    Ключевыми алгебраическими понятиями начального курса математики являются понятия переменная, выражение (математическое), числовое выражение, буквенное выражение, числовое равенство и числовое неравенство, уравнение.

    Рассмотрим характеристики этих понятий, выделим важные для обучения, обеспечения понимания смысла этих понятий.

    Математическое выражение. Это записи видаa, b, 2, 158, 2 + 3, 2 ·3, 12: 3, a + b, a - b, a  · b , a: b, 3 a+ 2 и т.д., а также записи, составленные из подобных приведенным с помощью знаков действий и скобок, например, 2(a - b), 7 a(b + 13): (27 + 3), где буквы обозначают произвольное число. В выражении записаны только числа, знаки арифметических действий и скобки. Числа в выражении могут быть записаны цифрами и буквами. А в процессе обучения и другими знаками, например: А: (А · ) и А: (й : □); ф + © и © + ф, или К — Ст, где русской буквой К обозначен объем воды в кувшине, а Ст —

    438
    объем воды в стакане. Буквенное выражение К — Ст сообщает, что из кувшина вылили стакан воды. Это обозначение промежуточное между записью сообщения на родном языке и на языке математических символов.

    По признаку цифровой или буквенной записи все выражения делятся на 3 три группы. Это выражения, в которых: а) все числа записаны цифрами; б) все числа записаны буквами; в) есть числа, записанные цифрами, и есть числа, записанные буквами. Выражения с произвольными не цифровыми обозначениями отнесем в группу с буквенными обозначениями чисел. Однако в математике выделяют только две группы: выражения, в которых все числа записаны цифрами и выражения, в записи которых встречается буква или буквы. Как вы думаете, почему? Этот вопрос полезно обсудить с учащимися, так как только в этом случае они смогут увидеть, понять, что наличие в выражении хотя бы одной буквы существенно меняет характер выражения, и этот характер принципиально не меняется с увеличением доли буквенного обозначения чисел в выражении от одной до всех чисел выражения. Логично бы было назвать выражения первой группы «цифровыми», а выражения второй — «буквенными».

    Различия между выражениями, где все числа записаны цифрами и выражениями, в которых есть буква или буквы в том, что «цифровое» выражение однозначно задает конкретное число, способ получения которого из конкретных, известных чисел, записанных в выражении, задан, а буквенное выражение такого определенного числа — значения выражения — не имеет. Буквенное выражение задает только зависимость между значениями буквы или букв и числовым значением этого выражения, которое меняется с изменением значений букв. Отсюда название буквенных обозначений чисел — переменная. Когда буквенные выражения входят в уравнение, то буквенные обозначения называют также неизвестными.

    Ранее было предложено для выражений первой группы название «цифровые», но в математике для этой группы прижилось название числовые выражения, а для выражений второй группы — буквенные выражения.

    Числовое значение математического выражения. Это число, полученное в результате выполнения с числами выражения всех указанных в нем знаками действий в порядке, который определяется правилами порядка действий. У каждого числового выражения — единственное числовое значение благодаря правилам порядка действий. Поэтому любое числовое выражение является способом и формой представления числа, его индивидуальности, его операторного смысла (см. гл. 7).

    Буквенные выражения имеют числовые значения при заданных значениях букв. Если вместо букв в выражении записать их числовые значения, то буквенное выражение превращается в числовое.

    439
    Таким образом, мы имеем множество выражений — записей определенного вида. Это множество не пустое. А потому можно рассматривать вопрос об отношениях между выражениями. В математике это, прежде всего, отношения сходства и различия, отношения равенства и неравенства. Коль скоро выражения — записи, то их можно сравнивать по внешнему виду: какие знаки (буквы, числа, знаки действий) присутствуют в одном и другом выражении, поровну ли их, одни и те же это знаки или разные, есть ли скобки, одинакова ли структура выражений и т. д. Умение устанавливать сходство и различия лежит в основе умения применять свойства арифметических действий при вычислениях, преобразованиях. Например, установление сходства и различия между выражениями из равенств (a + b)+c = a + (b + c),a + b = b + a, выражающих сочетательное и переместительное свойство, лежит в основе применения этих свойств в вычислениях: 23 + 19 + 7 = 19 + 23 + 7 = 19 + 30 = 49.

    Отношения равенства и неравенства выражений определяют через отношения их числовых значений: два числовых выражения равны, если равны их числовые значения; одно числовое выражение больше другого, если его числовое значение больше числового значения другого выражения.

    Действия с выражениями: нахождение значения выражения (для буквенного — при заданных значениях букв); преобразование выражения (замена данного выражения другим на основе свойств действий, обозначенных в выражении), составление новых выражений из имеющихся с помощью арифметических действий. Нахождение значений выражений — это основное действие, которое выполняют учащиеся с числовыми и буквенными выражениями в процессе изучения математики.

    Числовые равенства и неравенства. Буквенные равенства и неравенства — это равенства и неравенства с переменной (переменными), среди которых выделяют тождества, уравнения и неравенства с переменной (переменными).

    Обратим внимание на связь понятий числовые равенства и неравенства и отношения равенства и неравенства между числами. В неразличении, в непонимании связи этих понятий кроются трудности их освоения. Понятия «числовые равенства» и «числовые неравенства» характеризуют записи, имеющие определенный внешний вид. По внешнему виду определяется, является та или иная запись числовым равенством или числовым неравенством. Отношения равенства и неравенства между числами — это отношения, которые устанавливаются на основе отношений между группами предметов (теоретико-множественные смысл числа), предметами или группами предметов по какой-либо величине (величинный смысл числа), положению числа в натуральном ряде чисел (порядковый смысл числа).

    Связь между числовым равенством (неравенством) и отношением равенства (неравенства) задается понятиями «верное числовое

    440
    равенство (неравенство)» и «неверное числовое равенство (неравенство)». Числовое равенство (неравенство) является записью повествовательного предложения «число … равно (не равно, меньше, больше) числу…» в определенной форме: записаны два выражения или выражение и число (в начальной школе к числу, записанному цифрами или буквой принято термин «выражение» не применять из дидактических соображений). Информация, содержащаяся в нем, может быть истинной, ложной или неопределенной истинности (в равенствах и неравенствах с переменной). В первом случае числовое равенство называют истинным или верным, а во втором — ложным, или неверным, например: 3 = 4, 2 + 3 = 3 + 2, 7< 5, 7> 5. В третьем случае рассматривают два множества — множество значений, которые может принимать переменная, и множество ее значений, при которых равенство или неравенство будет верным. а + 2 = 7, 3 < 4, 3>4;2+ x = 7, x  < 3; x  < x  + 1.

    Именно в понятиях «верное (неверное) равенство (неравенство)» соединяются «визуальные» понятия, объекты которых распознаются по внешнему виду, и содержательные, абстрактные, объекты которых распознаются по содержательным характеристикам. В результате мы получаем возможность моделировать свойства отношений, применять их, пользуясь простыми правилами внешнего преобразования записей, замены одной записи другой и выражать сложные абстрактные содержательные понятия простыми записями и правилами их преобразования и замены. В основе таких преобразований лежат свойства истинных числовых равенств, истинных числовых неравенств: a = b —>b = a,a = b —>a + c = b + c,a = b,c ≠ 0 —> —> ac = bc; a>b—>b<a,a>b—>a + c > b + c,a>b,c>0—>ac>bc, a > b, c < 0 —> ac < bc.
      1   2   3   4   5   6   7
    написать администратору сайта