Главная страница
Медицина
Экономика
Финансы
Биология
Сельское хозяйство
Ветеринария
Юриспруденция
Право
Языки
Языкознание
Философия
Логика
Этика
Религия
Социология
Политология
История
Информатика
Физика
Вычислительная техника
Математика
Искусство
Культура
Энергетика
Промышленность
Химия
Связь
Электротехника
Автоматика
Геология
Экология
Строительство
Механика
Начальные классы
Доп
образование
Воспитательная работа
Русский язык и литература
Классному руководителю
Другое
Дошкольное образование
Казахский язык и лит
Физкультура
Школьному психологу
Технология
География
Директору, завучу
Иностранные языки
Астрономия
Музыка
ОБЖ
Социальному педагогу
Логопедия
Обществознание

Методичка по Математике. Методическая разработка для самоподготовки по курсу Высшая математика, информатика


Скачать 0.49 Mb.
НазваниеМетодическая разработка для самоподготовки по курсу Высшая математика, информатика
АнкорМетодичка по Математике.pdf
Дата24.02.2017
Размер0.49 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаМетодичка по Математике.pdf
ТипМетодическая разработка
#3082
КатегорияФизика
страница1 из 5
  1   2   3   4   5

1
Московская Медицинская Академия им И.М.Сеченова
Кафедра медицинской и биологической физики
Заведующий кафедрой – профессор В.Ф. Антонов
М.С.Федорова
Методическая разработка для самоподготовки
по курсу «Высшая математика, информатика»
для студентов лечебного, медико-профилактического, стоматологическо-
го факультетов и факультета военного образования.
Под редакцией доцента Е.Ю.Смирновой
Москва – 2004 г.
Настоящая методическая разработка написана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика, информатика» и учебником
Ю.В.Морозова «Основы высшей математики и статистики» 1998 г.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодар- ность заведующему кафедрой, профессору В.Ф.Антонову за интерес, про- явленный к работе, профессору А.М.Чернышу, сделавшему ряд ценных за- мечаний, заведующему кафедрой медицинской информатики и статистики, доценту А.Н.Герасимову за любезно предоставленные статистические ма- териалы к теме 7, профессору А.А.Аносову и М.В.Крупновой за помощь в подготовке компьютерной версии методической разработки.

2
Содержание
Тема 1.
Производная функции одной переменной
Тема 2.
Функция нескольких переменных.
Дифференцирование функций нескольких переменных
Тема 3.
Дифференциалы функций одной и нескольких переменных
Тема 4.
Неопределенный интеграл
Тема 5.
Определенный интеграл
Тема 6.
Дифференциальные уравнения
Тема 7.
Элементы обработки медико-биологической информации
Тема 8.
Об использовании гистограмм в задачах медицинской диагностики
Тема 9.
Использование метода наименьших квадратов в процессе статистической обработки медико-биологических дан- ных
Тема 10.
Корреляционная зависимость. Коэффициент линейной корреляции

3
Т е м а 1
Производная функции одной переменной
Понятие производной - одно из основных понятий математиче- ского анализа. Производная характеризует быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. В частности, производные применяются при математическом описании кинетики химических ре- акций, динамики движения, при нахождении градиента скорости, давления, температуры и других величин.
Литература для подготовки к занятию по теме:
Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики", М.,
1998, с.19-28, 37-50.
В процессе подготовки к практическому занятию по теме не- обходимо выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1) Понятие функции.
2) Понятие предела функции (аналитическая форма записи предела функции в точке)
II. Изучить по указанной литературе следующие вопросы:
1) Понятие производной функции.
2) Физический смысл производной (привести примеры на вы- числение скорости и градиента).
3) Геометрический смысл производной (пояснить с помощью графика).
4) Основные формулы дифференцирования - производная посто- янной, степенной, экспоненциальной, логарифмической, тригоно- метрических функций. Таблицу производных этих функций необхо- димо перенести в рабочую тетрадь.
5) Правила дифференцирования алгебраической суммы, произ- ведения, частного двух функций.
6) Понятие сложной функции.
7) Правило дифференцирования сложных функций (пояснить на примере, как выбирается промежуточная переменная).
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля
Задача 1. Вычислить производную функции
4 5x
y
=
Решение
Данное выражение является степенной функцией вида
n
x
y
=
, умноженной на постоянный коэффициент. В соответствии с правилом дифференцирования функции, умноженной на константу, постоянный коэффициент можно выносить за знак производной, по- этому:
)
(
5 4


=

x
y
Далее в соответствии с формулой
1
)
(


=
n
n
x
n
x
, получим:
3 1
4 20 4
5
x
x
y
=

=


4
Найти самостоятельно производную функции
5 5
1
x
y


=
Задача 2. Найти производную функции
2 1
2
+

=
x
x
y
Решение
Для решения задачи необходимо применить правило дифферен- цирования алгебраической суммы:
W
V
U
W
V
U

±

±

=

±
±
)
(
и формулу производной степенной функции.
Тогда получим:
)
2
(
)
(
)
(
)
2 1
(
2 2

+



=

+

=


x
x
x
x
y
или
1 2
1 2
0 2
3 3
1 1
1 2


=


=



=




x
x
x
x
y
Здесь при вычислении производной первого слагаемого суммы и записи результата использована возможность представления дроби
2 1
x
в виде степенной функции с отрицательным показателем степени:
2 2
1

= x
x
(в общем случае
n
n
x
x

=
1
), и наоборот - сте- пенной функции с отрицательным показателем степени в виде дро- би. Производная второго слагаемого равна - 1, производная кон- станты равна нулю.
1 2
)
2 1
(
3 2


=
+

=

x
x
x
y
Найти самостоятельно производные следующих функций:
1.
6 3

+
=
x
x
y
2.
1 1
1 3
+
+

=
x
x
y
Задача 3. Найти производную функции
3 2
x
y
=
Решение
Для решения задачи необходимо сначала представить эту функцию в виде степенной функции с дробным показателем степе- ни, по формуле:
n
m
n
m
x
x
=
В нашем случае имеем:
3 2
3 2
x
x
y
=
=
Далее, применив правило дифференцирования степенной функ- ции, с показателем степени
3 2
=
n
, найдем:

5 3
3 1
)
1 3
2
(
3 2
3 2
3 2
x
x
x
y
=
=
=



Найти самостоятельно производные следующих функций:
1.
5 2
5 x
y
=
3.
x
y
3 1
=
2.
x
y
1
=
4.
3 2
7 1
x
y
=
Задача 4. Найти производную функции
x
e
y
x
sin

=
Решение
Данная функция является произведением экспоненциальной функции е и тригонометрической функции
x
sin
Применяя правило дифференцирования произведения функций и используя правила дифференцирования функций
x
e
и
x
sin
, найдем производную произведения
)
cos
(sin cos sin
)
(sin sin
)
(
)
sin
(
x
x
e
e
x
x
e
e
x
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
+
=

+
=

+


=

Найти самостоятельно производные функций :
1)
x
x
y
cos
2

=
2)
x
e
x
y

=
3)
)
1
(sin
3


=
x
x
y
4)
x
x
y
ln
2

=
Задача 5. Найти производную функции
x
x
y
2
ln

=
Решение
Применяя формулу дифференцирования частного функций:
2
V
V
U
V
U
V
U



=







и основные формулы дифференцирования, получим:
2 2
2 2
ln
3 2
ln
1 1
)
2
(ln
)
0 1
(
)
2
(ln
)
2
(ln
)
2
ln
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

=
+

=





=






=


Найти самостоятельно производные функций
1)
x
x
y
cos
=
3)
x
e
x
y
ln
=
2)
x
e
y
x
1

=
4)
x
x
y
ln sin
=
5. Доказать, что производная функции
ctgx
y
=
равна
)
sin
1
(
2
x


6
Задача 6. Найти производную функции
x
y
2
sin
=
Решение
Данная функция отличается от табличной множителем а=2 при переменной х. Производная пишется по правилу дифференцирования сложной синусоидальной функции
U
U
U


=
′ cos
)
(sin
Применяя правило дифференцирования сложной синусоидальной функции, получим:
x
x
x
y
2
cos
2 2
)
2
(cos
)
2
(sin

=

=

=
Найти самостоятельно производные функций:
1.
)
1
sin(
2
+
=
x
y
2.
)
1 2
cos(
+
=
x
y
Задача 7.
Найти производную функции
ax
e
y
=
, где а - константа.
Решение.
Данная функция отличается от табличной множителем "а" при переменной х и является сложной.
Применяя правило дифференцирования сложной экспоненциаль- ной функции
)
(
)
(


=

ax
e
e
ax
ax
, получим:
ax
ax
ax
ae
ax
e
e
=


=

)
(
)
(
Найти самостоятельно производную функции:
1.
x
e
y
5
=
2.
x
e
y
=
Задача 8. Найти производную функции
2 3
+
= x
y
Решение
Данная функция может быть представлена в виде сложной степенной
2 1
3
)
2
(
+
= x
y
В соответствии с формулой производной сложной степенной функции
U
nU
U
n
n


=

−1
)
(
в данном случае имеем:
2 2
3
)
2
(
)
2
(
2 1
)
2
(
3 2
3 1
2 1
3 2
1 3
+

=

+

+

=







+
=


x
x
x
x
x
y
Найти самостоятельно производные сложных функций:

7 1.
x
y
3
cos
3 1
=
2.
2
x
e
y

=
3.
x
y
ln
1
+
=
Задача 9. Точка совершает колебания по закону
)
4
sin(
π
π
+
=
t
S
S
o
, где o
S
= 2 (м). Определить скорость тела в момент времени
4 1
=
t
с.
Решение
Скорость тела в любой момент времени t определяется произ- водной
)
(t
S
. Функция
)
(t
S
является сложной функцией.
Применяя формулу дифференцирования сложной функции, в нашем случае получим
U
U
U


=
′ cos
)
(sin
)
4
cos(
)
4
(
)
4
cos(
)
(
)
(
π
π
π
π
π
π
π
+
=

+

+
=

=
t
S
t
t
S
t
S
t
v
o o
Скорость тела в момент времени
4 1
=
t
с есть
0 2
cos
2
)
4 4
1
cos(
2
)
4 1
(
)
4 1
(
=

=
+
=

=
π
π
π
π
π
S
v
Ответ: скорость тела в момент времени
4 1
=
t
с равна нулю.
Задание. Определить самостоятельно ускорение тела в мо- мент времени
4 1
=
t
с, если скорость тела
)
4
cos(
2
)
(
π
π
π
+

=
t
t
v
и измеряется в м/с.
Задача 10. Определить величину градиента концентрации, если зависимость концентрации от координаты задана функцией
kx
e
C
x
C

=
o
)
(
, где
k
- константа, а o
C
- есть концентрация веще- ства при
0
=
x
Решение
Величина градиента определяется выражением
dx
dC
x
C
=
′ )
(
и характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции
U
e
e
U
U


=
′)
(
в данном случае получим:
kx
kx
e
C
k
kx
e
C
dx
dC





=



=
o o
)
(

8
Ответ: градиент концентрации
kx
e
C
k
dx
dC




=
o
Решить самостоятельно задачу:
При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жид- кости имеют различную скорость в зависимости от расстояния
x
от оси трубы.
)
(
4
)
(
2 2
x
R
l
P
x
v

Δ
=
η
, где
P
Δ
- разность давлений на участке трубы длиной l
R
- радиус трубы,
η
- коэффициент вязкости.
Найти величину градиента скорости на расстоянии
x
от оси трубы.
Задачи для решения на практическом занятии
1.
2 3
2
+
= x
y
16.
x
x
y
sin
4 2

=
2.
x
x
x
y
+
+
=
1 1
3 17.
)
3 3
cos(
8
π

=
t
y
3.
ctgx
x
y

= sin
18.
)
3 2
ln(
5

=
x
y
4.
x
x
y
ln
=
19.
)
2
sin(
3
π
+
=
t
y
5.
x
x
y
ln
5
=
20.
x
e
y
x
5
cos
3

=

6.
x
y
4
sin
2
=
21.
x
y
3
cos
5
=
7.
x
x
y
+

=
1 1
22.
x
e
y
2
sin
=
8.
x
e
y sin
=
23.
3 3
1 x
e
y
x

=

9.
x
e
y
x
2
cos sin
=
24.
x
y
sin ln
=
10.
x
e
y cos
=
25.
2 2
a
x
y

=
11.
x
x
y

+
=
1 1
ln
26.
4 4
x
e
y
x
+
=
12.
)
2 3
sin(
5
+
=
x
y
27.
2 2
1
x
x
y

=
13.
2 5
x
e
y


=
28.
)
cos(
o
γ
β
+

=

wt
Ae
y
t
14.
2 1 x
x
y
+
=
29.
x
e
y
2 5
0


=
15.
x
y
2
cos
3
=
30.
tgx
ctgx
y

=

9 31) Найти скорость изменения во времени концентрации C лекарственного вещества при выведении его из организма, если процесс описывается формулой
at
e
C
t
C


=
o
)
(
, где
0
C = 2 мг/л, (
0
C
- концентрация вещества при t =0),
05 0
=
a
1/c.
32) Зависимость барометрического давления от высоты при усло- вии постоянства температуры определяется барометрической фор- мулой
kh
e
p
p


=
o
, где
k
- константа,
h
- высота, o
p
- давление при
h
= 0.
Получить формулу для градиента давления.
33) Количество электричества, прошедшего через проводник, начиная с момента времени
0
=
t
, определяется формулой
1 3
2 2
+
+
=
t
t
q
. Вычислить силу тока в конце пятой секунды.
Т е м а 2
Функция нескольких переменных.
Дифференцирование функций нескольких переменных.
До сих пор мы изучали функцию одного аргумента (одной не- зависимой переменной), т.е. функции вида
)
(x
f
y
=
. Вместе с тем в физике, химии, биологии большинство процессов подчинено за- конам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Например, площадь прямоугольника
xy
S
=
есть функция двух аргументов - сторон х и
y
Любая из переменных уравнения состояния
RT
PV
=
есть функция двух аргументов, например,
V
RT
P
=
. Здесь функция
P
зависит от двух переменных: температуры Т и объема V.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функ- ции нескольких переменных.
Литература для подготовки к занятию:
Морозов Ю.В. "Основы высшей математики и статистики", М.,
1998, с.52-56.
В процессе подготовки к практическому занятию по теме не- обходимо выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1) Понятие сложной функции одной переменной.
2) Понятие приращения аргумента и функции одной перемен- ной.
3) Дифференцирование сложной функции.

10
П. Изучить по указанной литературе следующие вопросы:
1) Понятие частного приращения функции нескольких пере- менных.
2) Понятие частной производной функции нескольких пере- менных.
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля
Задача 1. Найти частные приращения функции
xy
x
xy
f
+
=
2
)
(
Решение
Частное приращение по
x
, аргумент
y
не изменяется
2 2
2 2
2 2
)
(
)
2
(
)
(
2
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
x
x
y
x
xy
x
xy
xy
x
x
x
x
xy
x
y
x
x
x
x
y
x
f
y
x
x
f
f
x
Δ
+
Δ
+
=


Δ
+
+
Δ
+
Δ
+
=
=


Δ
+
+
Δ
+
=

Δ
+
=
Δ
Частное приращение по
y
, аргумент
x
не изменяется
y
x
xy
x
y
y
x
x
f
y
Δ
=


Δ
+
+
=
Δ
2 2
)
(
Найти самостоятельно частные приращения функций по х и по у:
1)
2 2
2
y
x
Z
+
=
2)
3 3
5
xy
x
Z

=
Задача 2. Найти частные производные функции
y
x
Z
=
Решение
Данная функция является функцией двух аргументов: х и у. При нахождении производной по одному аргументу другой аргумент рассматривается как постоянная величина.
Тогда
y
x
x
y
y
x
x
x
Z
Z
x
1 1
)
(
=


=


=


=

2 1
)
(
)
(
y
x
y
y
x
y
x
y
y
Z
Z
y

=


=


=


=


Найти самостоятельно частные производные следующих функций:
1)
y
e
x
Z

=
3)
)
2 2
cos(
y
x
Z
+
=
2)
)
ln(
y
x
Z
+
=
4)
3 2
2 y
x
Z
=
Задача 3. Найти частные производные функции
y
x
e
Z
2
+
=
Решение
Частная производная по аргументу
x
. Аргумент
y
считаем постоянной величиной.
y
x
y
x
y
x
x
e
y
x
x
e
e
x
x
Z
Z
2 2
2
)
2
(
)
(
+
+
+
=
+


=


=


=


11
Частная производная по аргументу
y
. При этом аргумент
x
считаем постоянной величиной.
y
x
y
x
y
x
y
e
y
x
y
e
e
y
y
Z
Z
2 2
2 2
)
2
(
)
(
+
+
+
=
+


=


=


=

Найти самостоятельно частные производные функций:
1)
2 2
y
x
Z
+
=
3)
)
sin(xy
Z
=
2)
xy
e
Z
=
4)
h
r
V
2
π
=
Задачи для решения на практическом занятии
Найти частные производные функций:
1.
2 2
2
)
(
y
x
Z
+
=
5.
x
y
y
x
e
e
Z
/
/
+
=
2.
y
x
y
x
Z
+

=
6.
x
y
Z
/
cos
=
3.
)
ln(
2 2
y
x
Z
+
=
7.
)
ln(xy
Z
=
4.
y
x
Z
sin
2
=
8) Зависимость объема
V
газа, масса которого постоянна, от температуры T и давления
P
выражается формулой
P
RT
V
=
, где
R
- постоянная.
Доказать, что
0
=


+


T
V
T
P
V
P
9.
3 2
1
y
x
Z
+

=
10.
y
x
Z
ln

=
11.
y
e
x
Z
sin cos

=
  1   2   3   4   5
написать администратору сайта