Главная страница
Навигация по странице:

  • ОГЛАВЛЕНИЕ Глава пятая

  • Глава шестая

  • Глава седьмая

  • АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

  • Кудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 2]. Математический анализ. Т. 2


    Скачать 14.42 Mb.
    НазваниеМатематический анализ. Т. 2
    АнкорКудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 2].pdf
    Дата26.04.2017
    Размер14.42 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 2].pdf
    ТипУчебник
    #5616
    КатегорияМатематика

    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Т. 2.
    Кудрявцев Л. Д.
    В учебнике излагаются основные сведения из математического тали за. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы.
    Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций.
    Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.
    ОГЛАВЛЕНИЕ
    Глава пятая
    Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)
    Стр.
    § 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных
    3 39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных
    3 39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных
    10 39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции
    11 39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
    14 39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных
    16
    § 40. Экстремумы функций многих переменных
    16 40.1. Необходимые условия экстремума
    16 40.2. Достаточные условия строгого экстремума
    19 40.3. Замечания об экстремумах на множествах
    25
    § 41. Неявные функции
    25 41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
    25 41.2. Произведения множеств
    30 41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
    31 41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений
    37 41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области
    42 41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых
    45 41.7. Замена переменных
    57
    § 42. Зависимость функций
    60 42.1. Понятие зависимости функций.
    Необходимое условие зависимости функций
    60 42.2. Достаточные условия зависимости
    61
    функций
    § 43. Условный экстремум
    64 43.1. Понятие условного экстремума
    64 43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
    66 43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума
    69
    Глава шестая
    Интегральное исчисление функций многих переменных
    § 44. Кратные интегралы
    73 44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль
    73 44.2. Квадрируемые и кубируемые множества
    80 44.3. Определение кратного интеграла
    81 44.4. Существование кратного интеграла
    84 44.5. Свойства кратного интеграла
    89
    § 45. Сведение кратного интеграла к повторному
    92 45.1. Основная теорема для двумерного случая
    92 45.2. Обобщения на n-мерный случай
    98
    § 46. Замена переменных в кратном интеграле
    100 46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае
    100 46.2. Замена переменных в двухкратном интеграле
    109 46.3. Криволинейные координаты
    116 46.4. Замена переменных в n-кратном интеграле
    118
    § 47. Криволинейные интегралы
    119 47.1. Криволинейные интегралы первого рода
    119 47.2. Криволинейные интегралы второго рода
    122 47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой
    127 47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым
    128

    47.5. Формула Грина
    129 47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
    134 47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей
    135 47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
    138
    § 48. Несобственные кратные интегралы
    148 48.1. Основные определения
    148 48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
    150 48.3. Несобственные интегралы от функций,
    меняющих знак
    155
    § 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов
    159 49.1. Вычисление площадей и объемов
    159 49.2. Физические приложения кратных интегралов
    161
    § 50. Элементы теории поверхностей
    162 50.1. Общие понятия
    165 50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
    168 50.3. Первая квадратичная формула поверхности
    173 50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними
    174 50.5. Площадь поверхности
    175 50.6. Ориентация поверхности.
    Ориентируемые и неориентируемые поверхности
    179
    § 51. Поверхностные интегралы
    187 51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов
    187 51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм
    192 51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочно-гладким поверхностям
    193
    § 52. Скалярные и векторные поля
    196 52.1. Определения
    197 52.2. Формула Остроградского — Гаусса.
    Инвариантное определение дивергенции.
    201 52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря
    206 52.4. Соленоидальные векторные поля
    211 52.5. Потенциальные векторные поля
    212
    § 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
    215 53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
    215 53.2. Дифференцирование интегралов,
    зависящих от параметра
    218
    § 54. Несобственные интегралы, зависящие
    220
    от параметра
    54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра
    220 54.2. Свойства несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    224 54.3. Применение теории интегралов,
    зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов
    230 54.4. Эйлеровы интегралы
    235 54.5. Замечания о кратных интегралах,
    зависящих от параметра
    241
    Глава седьмая
    Ряды Фурье. Интеграл Фурье
    § 55. Классические ряды Фурье
    244 55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач
    244 55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
    247 55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации
    252 55.4, Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций
    255 55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
    259 55.6. Приближение непрерывных функций многочленами
    262 55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней x
    264 55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
    267 55.9. Характер сходимости рядов Фурье.
    Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье ........
    270 55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов
    Фурье.
    276
    § 56. Интеграл Фурье и преобразование
    Фурье
    278 56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье
    278 56.2. Различные виды записи формулы
    Фурье. Преобразование Фурье
    283 56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
    288 56.4. Преобразование Фурье производных
    290 56.5. Свертка и преобразование Фурье
    291 56.6. Производная преобразования Фурье функции
    295
    § 57. Функциональные пространства
    296 57.1. Метрические пространства
    296 57.2. Линейные пространства
    304

    57.3. Нормированные пространства
    307 57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства
    315 57.5. Пространство L
    2 322
    § 58. Оргонормированные базисы и разложения по ним
    331 58.1. Ортонормированные системы
    331 58.2. Ортогонализация систем
    335 58.3. Ряды Фурье
    337 68.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
    344 68.5. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра
    351 68.6. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля
    355
    § 59. Обобщенные функции
    365 59.1. Общие соображения
    365 59.2. Линейные пространства со
    368
    сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства
    59.3. Определение обобщенных функций.
    Пространства D и D'
    370 59.4. Дифференцирование обобщенных функций
    375 59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S’
    378 59.6. Преобразование Фурье в пространстве
    S
    380 59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций
    383
    Добавление
    390
    § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
    390 60.1. Вычисление значений функций
    390 60.2. Решение уравнений
    392 60.3. Интерполяция функций
    398 60.4. Квадратурные формулы
    400 60.5. Погрешность квадратурных формул
    404
    Алфавитный указатель
    АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    Абсолютно сходящийся интеграл 155
    Аддитивность интеграла 89
    — — полная 91
    — меры 74
    Аксиомы расстояния 296
    Базис пространства 306, 314
    Банахово пространство 311
    Бесконечномерное пространство 307
    Бесселя неравенство 268, 340
    Бета-функция 235
    Вандермонда определитель 398
    Вейерштрасса признак 223
    — теорема 262
    Вектор (точка) линейного пространства 305
    Вектор-функция непрерывная 164
    Верхняя мера (n-мерная) 75
    — сумма Дарбу 84
    Веса 405
    Вихрь (ротор) 198, 210
    Внутренняя точка поверхности 167, 181
    Гамма функция 235
    Гильбертово пространство 321
    Главное значение интеграла 284
    Градиент вектора 197
    — функции 171, 196
    Грамма определитель 332
    Граничный контур 132
    — — внешний 132
    — — внутренний 133
    Грина формула 130
    Дарбу сумма 84
    Двойная точка (точка самопересечения) 46, 55
    Декартов лист 54
    Диаметр множества 297
    Дивергенция 198, 205
    Дирака функция 366
    Дирихле интеграл 252
    — ядро 253
    Допустимые преобразования параметров 127,
    165
    δ
    -функция 336, 373
    Жордана верхняя мера 75
    Зависимая система функций 60
    Замкнутая система 344
    Изометрическое соответствие 297
    Изометричные пространства 296
    Изоморфизм пространств 307, 321
    Изоморфные пространства 307, 321
    Интеграл Дирихле 252
    — зависящий от параметров 215, 242
    — криволинейный первого рода 120
    — — второго рода 124, 128
    — Лебега 324
    — несобственный 149
    — — расходящийся 149
    — — сходящийся 149, 220, 242
    — — — абсолютно 155
    — — — равномерно 221, 242
    — повторный 93
    — Пуассона 152
    — Римана 83, 84, 90, 91
    — типа потенциала 243
    — Фурье 279
    — Эйлера первого рода (бета-функция) 235
    — — второго рода (гамма-функция) 235

    Интегральная сумма Римана 83
    Интегрируемая функция 83, 149
    Интерполяционный многочлен 398
    — — Лагранжа 399
    Касательная плоскость 169, 172
    Квадратичная форма неопределенная 19
    — — определенная 19
    — — — отрицательно 19
    — — — положительно 19 Квадратурная формула 401
    — — точная для многочленов данного порядка
    405
    Квадрируемое множество 80
    Квазинорма (полунорма) 308
    — порожденная квазискалярным произведением
    317
    Квазинормированное пространство 308
    Квазискалярное произведение 316
    Классический ряд Фурье 247
    Комплексная запись ряда Фурье 277
    Комплексное линейное пространство 305
    Коническая точка 182 Контур граничный 132
    — — внешний 132
    — — внутренний 132
    —, ограничивающий поверхность 206
    Координатная линия 116, 118, 168
    Координатный параллелограмм 117
    Координаты криволинейный 116, 117
    — местные 165
    Координаты (параметры) поверхности 163
    — сферические 119, 153
    — цилиндрические 119
    — элемента 315
    Коши — Буняковского неравенство 319
    Коши критерий 15
    Коши — Шварца неравенство 316
    Коэффициенты Фурье 247, 338, 339
    Краевая точка 167,181
    Край поверхности 167, 181, 185
    Кратная точка поверхности 163
    Кратный интеграл Римана 83, 84
    Кривая непрерывно дифференцируемая 127
    — — — без особых точек 127
    — Пеано 78
    Криволинейный интеграл первого рода 120
    — — второго рода 124, 128
    Критерий Коши 15
    — Сильвестра 22
    Кубируемое множество 80, 81
    Кубы ранга k 73
    Кусочно дифференцируемая функция 255
    Лагранжа интерполяционный многочлен 399
    — форма остаточного члена формулы Тейлора
    4, 9
    — формула конечных приращений 11
    — функция 67
    Лебега интеграл 324
    Лежандра полиномы 333
    Лейбница правило 218
    Линейная оболочка системы 306
    Линейное пространство 304
    — — комплексное 305
    — — со сходимостью 368
    Линейно зависимая система 306
    — независимая система 306
    Линейный функционал 368
    Локально интегрируемая функция 371
    Ломаная, вписанная в кривую 143
    Масса фигуры 161
    Матрица Якоби 31
    Мёбиуса лист 183
    Мелкость разбиения 82
    Мера (n-мерная) 74
    — верхняя 75
    Местные координаты 165
    Метод касательных 396
    — хорд 394
    Метрика (расстояния) 296
    —, порожденная нормой 310
    Метрическое пространство 296
    — — полное 298
    Многочлен интерполяционный 398
    — Тейлора 8
    — тригонометрический 262
    Множество квадрируемое 80
    — кубируемое 80, 81
    — меры нуль 76
    — ограниченное 297, 311
    — плотное в пространстве 299
    Моменты фигуры 162
    Наилучшее приближение элемента 339
    Независимая система функций 60
    Неопределенная квадратичная форма 19
    Неособая точка поверхности 168
    Непрерывная функция 303
    Непрерывное продолжение функции 12
    Непрерывно дифференцируемая кривая 127
    — — — без особых точек 127
    — — функция 12
    — продолжаемая функция 12
    Непрерывный функционал 368
    Неравенство Бесселя 268, 340
    — Коши — Буняковского 319
    — Коши — Шварца 316
    Несобственный интеграл 149
    Неявная функция 26
    Нижняя сумма Дарбу 84
    Норма 307
    —, порождающая метрику 310
    —, порожденная скалярным произведением 317

    Нормаль к поверхности 170, 172
    Нормальная прямая 170
    Нормированное пространство 307
    Носитель поверхности 163
    — точки поверхности 163
    — функции 370 Нулевой элемент 305
    Ньютоновский потенциал 243
    Область интегрирования 84
    — объемно односвязная 211
    — односвязная 141
    — поверхностно односвязная 212
    — элементарная относительно оси 92, 98
    Обобщенная функция 371
    — — медленного роста 379
    Образ множества 37
    Обратное преобразование Фурье 286
    Обратный элемент 305
    Ограниченное множество 297, 311
    Определенная квадратичная форма 19
    Определитель Вандермонда 398
    — Грамма 332
    — Якоби (якобиан) 31
    Ориентация границы отрицательная 133
    — — положительная 133
    — контура 127
    — — отрицательная 127
    — — положительная 127
    — поверхности 180, 181, 186
    — — отрицательная 180, 182, 184
    — — положительная 180, 182, 184
    Ортогональная система 244
    Ортогональность 244
    Ортогональные элементы 331
    Ортонормированная система 331
    Основная метрическая форма 173
    Основное пространство D 371
    Особая точка 46
    — — изолированная 46
    — — поверхности 168
    Остаточный член интерполяции 399
    — — формулы Тейлора 4
    — — — — в форме Лагранжа 4, 9
    ————— Пеано 6, 9
    Остроградского — Гаусса формула 202, 203
    Отклонение среднее квадратичное 265
    Отображение 37
    — взаимно однозначное 40
    — дифференцируемое 37
    Отображение непрерывно дифференцируемое
    37, 40
    — непрерывное 37
    — обратное 40
    — равномерно непрерывное 39
    — тождественное 40
    Отрицательно определенная квадратичная форма 19
    Параметры (координаты) поверхности 163
    Парсеваля равенство 270, 343, 354
    Пеано кривая 78
    — форма остаточного члена формулы Тейлора
    6, 9
    Первая квадратичная форма поверхности 173
    Планшереля теорема 362, 365
    Плоскость касательная 169, 172
    Площадь поверхности 176
    Поверхностный интеграл второго рода 188, 193,
    194
    — — первого рода 187, 193, 194
    Поверхность (без края) 165
    — гладкая 172, 181
    — двусторонняя 184
    —, заданная неявно 167
    —, — параметрически 162, 165
    — кусочно-гладкая 185
    —, натянутая на контур 206
    — неориентируемая 183, 186
    — непрерывно дифференцируемая 164
    — ориентированная 184
    — ориентируемая 183, 185
    — с краем 167
    — уровня 171
    Повторный интеграл 93
    Подпространство 296, 305
    Поле векторное 196
    — скалярное 196
    Полиномы Лежандра 333
    Полная система 265, 313
    — — в смысле среднего квадратичного 265
    Полное метрическое пространство 298
    — нормированное пространство 311
    Положительно определенная квадратичная форма 19
    Полунорма (квазинорма) 308
    Пополнение предгильбертова пространства 321
    — метрического пространства 299
    Последовательность множеств, монотонно исчерпывающих открытое множество 149
    — сходящаяся 297, 310, 369
    Последовательность, сходящаяся в смысле среднего квадратичного 251
    — фундаментальная 297
    Последовательности эквивалентные 299
    Потенциал 196
    — ньютоновский 243
    Потенциальная функция 196
    Потенциальное поле 199
    Поток векторного поля через поверхность 200
    Правило Лейбница 218
    — штопора 185

    Предел последовательности точек 297
    Представление поверхности 162
    — — векторное 163
    — — координатное 163
    — — явное 165
    Представления эквивалентные 127 164
    Преобразование параметров допустимое 127,
    165
    — Фурье 286, 288, 363, 364, 384
    Признак Вейерштрасса 223
    — сравнения 153
    Принцип локализации 254
    — сохранения области 44
    — — открытого множества 44
    Продолжение функции непрерывное 12
    — функционала 370
    Проекция множества 77
    Произведение квазискалярное 316
    — скалярное 315, 330, 358
    — множеств 30
    Произведение элемента на число 304, 305
    Производная обобщенной функции 375
    — по направлению 197
    Прообраз множества 37
    Пространства изометричные 296
    — изоморфные 307
    Пространство С[а,b] 308, 311
    — D 371
    — L
    2 324, 356
    — L
    2 322
    Пространство l
    2 349
    — 5 378, 379
    — банахово 311
    — бесконечномерное 307
    — гильбертово 321
    — квазинормированное 308
    — линейное 304, 305
    — метрическое 296
    — n-мерное 306
    — нормированное 307
    — обобщенных функций D' 374
    — — — S' 379
    — предгильбертово 321
    — сепарабельное 313
    — сопряженное 370
    — функциональное 331
    Пуассона интеграл 152
    Равенство обобщенных функций 375
    — Парсеваля 270, 343, 354
    Равномерная сходимость семейства функций 14
    Равномерно сходящийся интеграл 221, 242
    Разбиение множества 81
    — ранга k 73
    Разность элементов 305
    Расстояние (метрика) 296
    Регулярная обобщенная функция 374
    Римана интеграл 83
    — интегральная сумма 83
    Ротор (вихрь) 198
    Ряд в линейном пространстве 313
    — обобщенных функций 377
    — сходящийся 314, 377
    — Тейлора 16
    — тригонометрический 244
    — Фурье 247, 276, 277, 339
    — — классический 247
    Свертка функций 291, 292
    Сепарабельное пространство 313
    Сильвестра критерий 22
    Симпсона формула 401, 403
    Сингулярная обобщенная функция 374
    Система замкнутая 344
    — линейно зависимая 306
    — — независимая 306
    — ортогональная 244
    — ортонормированная 331
    — полная 265, 313
    — — в смысле среднего квадратичного 265
    — тригонометрическая 244
    — функций зависимая 60
    Система функций независимая 60
    Скалярное произведение 315, 330, 356
    Соленоидальное поле 200, 211
    Соответствие изометрическое 297
    Сопряженное пространство 370
    Сохоцкого формулы 375
    Среднее квадратичное отклонение 265
    Стационарная точка 20
    Стокса формула 206
    Ступенчатая функция 248, 356
    Сумма Дарбу 84
    — ряда 314, 377.
    — — частичная 314, 377
    — Фейера 259
    — Фурье 252
    Сумма элементов 304
    Суммирование ряда методом средних арифметических 262
    Сходимость в L
    2 330
    — в S 378
    — в смысле среднего квадратичного 330
    — в среднем (в L
    1
    ) 330
    Сходящаяся последовательность 297, 310
    — — функций в D 370, 371
    Сходящийся интеграл 220, 242
    Тейлора многочлен 8
    — ряд 16
    — формула 4, 9
    Теорема Вейерштрасса 262
    — о среднем 92

    — Планшереля 362, 365
    — Фейера 260
    Точка возврата 55
    — двойная 46, 55
    — касания 169
    — коническая 182
    — краевая 167, 181
    — (вектор) линейного пространства 305
    — максимума 17
    — — строгого 17
    — метрического пространства 296
    — минимума 17
    — — строгого 17
    — особая 46
    — поверхности 163
    — — кратная 163
    — самоприкосновения 55
    — стационарная 20
    — экстремума 17
    Точка экстремума строгого 17
    — — условного 64
    Тригонометрическая система 244
    Тригонометрический многочлен 262
    — ряд 244
    Угол между кривыми 175
    Узлы 405
    — интерполяции 398
    Уравнение связи 64
    Фейера сумма 259
    — теорема 260
    — ядро 259
    Фигура 161
    Финитная функция 370
    Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора 4, 9
    Формула Грина 130
    — квадратурная 401
    — конечных приращений Лагранжа 11
    — обращения 287
    — прямоугольников 401
    — Симпсона 401, 403
    — Сохоцкого 375
    — Тейлора 4, 9
    — трапеций 401, 402
    Фундаментальная последовательность точек 297
    Функционал 368
    — линейный 368
    — непрерывный 368
    Функциональное пространство 331
    Функция Дирака 366
    —, зависимая от других функций 60
    — из L
    2 324
    —, интегрируемая в несобственном смысле 149
    —, — по Риману 83
    — кусочно дифференцируемая 255
    — Лагранжа 67
    — локально интегрируемая 371
    — непрерывная 303
    — непрерывно дифференцируемая 12
    — — продолжаемая 12
    — неявная 26
    — обобщенная 371, 379
    — с интегрируемым квадратом 318
    — ступенчатая 248, 356
    — Хевисайда 376
    Фурье интеграл 279
    — коэффициенты 247, 338, 339
    Фурье преобразование 286, 288, 363, 364, 384
    — ряд 247, 276, 277, 339
    — сумма 252
    Хевисайда функция 376
    Центр тяжести фигуры 162
    Цилиндр 79
    Циркуляция 199
    Эйлера интеграл 235
    — — второго рода (гамма-функция) 235
    — — первого рода (бета-функция) 235
    Эквивалентные последовательности 299
    — представления кривой 127
    — — поверхности 164
    — элементы 309, 319
    Элемент площади 178
    Элементы ортогональные 331
    Явное представление поверхности 165
    Ядро Дирихле 253
    — Фейера 259
    Якобиан (определитель Якоби) 31
    Якоби матрица 31
    написать администратору сайта