Главная страница
Навигация по странице:

  • (остаточный член в форме Лагранжа).

  • Формула Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано 2

  • 19.3. Ряд Тейлора. Определение 19.1.

  • Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. 19 Формула Тейлора1


    Скачать 362.5 Kb.
    НазваниеЛекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. 19 Формула Тейлора1
    АнкорЛекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.doc
    Дата01.03.2018
    Размер362.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.doc
    ТипЛекция
    #16092

    Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.
    19.1. Формула Тейлора1.
    Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

    .

    Пусть – любое фиксированное число. Полагая , получим:

    . (19.1)

    Запишем также в виде

    , (19.2)

    где – числа, зависящие от и – коэффициенты разложения по степеням . Например, .

    Из (19.1) не видно, что от на самом деле не зависит. Найдём производные :

    . (19.3)

    Следующие производные равны нулю.

    Полагая в формулах (19.2) и (19.3) , получаем:

    , , , , ,

    то есть

    . (19.4)

    Таким образом,

    . (19.2*)

    Это формула Тейлора для многочлена по степеням .

    Отметим, что правая часть (19.2*) фактически не зависит от .
    Пример 19.1. Пусть , .

    ,

    , ,

    после чего получаем формулу бинома Ньютона

    .
    19.2. Остаточный член формулы Тейлора.
    Рассмотрим любую функцию , которая имеет непрерывные производные до -го порядка в некоторой окрестности точки . Составим многочлен Тейлора n-й степени по степеням :

    . (19.5)

    совпадает с функцией в точке , но для всех x он не равен . Кроме того,

    , , .

    Положим

    . (19.6)

    Здесь остаточный член формулы Тейлора. Он показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (19.5).
    Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для из этой окрестности найдётся точка такая, что



    (остаточный член в форме Лагранжа).

    Функцию можно записать в виде:

    . (19.6*)

    Если , то формулу (19.6*) называют формулой Маклорена1.

    Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора.
    Остаточный член в форме Коши: , где .

    Формула Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано2:

    .

    Эта формула приспособлена для изучения функции в окрестности точки .
    19.3. Ряд Тейлора.
    Определение 19.1. Выражение вида

    , (19.7)

    или

    , (19.7*)

    где – числа, зависящие от индекса k, называется рядом (числовым рядом).

    Определение 19.2. Конечные суммы называются частичными суммами ряда (19.7).

    Определение 19.3. Если существует конечный предел

    , (19.8)

    то говорят, что ряд (19.7) сходится к числуS и называют Sсуммой ряда:

    .

    Определение 19.4. Если предел частичных сумм Sn ряда (19.7) не существует или равен , то ряд (19.7) называется расходящимся рядом.
    Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то можно функцию представить в виде суммы

    .

    Такое разложение называется рядом Тейлора функции по степеням . Если , то это будет ряд Маклорена.

    Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции по степеням сходится в некоторой окрестности точки и при том к самой функции . Если это имеет место, то

    , , (19.9)

    то есть функция есть сумма её ряда Тейлора в некоторой окрестности точки . В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к ней.
    Теорема 19.1. Пусть функция на отрезке имеет производные любого порядка и остаток её формулы Тейлора стремится к нулю при на этом отрезке:

    . (19.10)

    Тогда функция разлагается в ряд Тейлора на этом отрезке.

    Доказательство. Пусть функция имеет на отрезке производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на , потому что если имеет производную на , то производная непрерывна на .

    Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора:

    , .

    В силу (19.10)

    .

    То есть в этом случае многочлен Тейлора функции по степеням стремится при к самой функции:

    , . (19.11)

    А это означает, что ряд Тейлора функции сходится на и имеет своей суммой :

    , .
    Теорема 19.2 (достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю). Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , , то остаток её формулы Тейлора на этом отрезке стремится при к нулю:

    . (19.12)

    Доказательство. Воспользуемся формой Лагранжа остаточного члена:

    . (19.13)

    Так как правая часть (19.13) стремится к нулю при , то имеет место (19.12).
    19.4. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций.
    1) . Эта функция бесконечно дифференцируема на :

    , , , .

    Формула Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

    , , .

    На отрезке

    ,

    где при . То есть на функция разлагается в ряд Маклорена по степеням x:

    .

    Пример 19.2. Вычислим e с точностью до 0,001:

    , где , .

    Надо подобрать n настолько большим, чтобы . Так как , решим неравенство . Оно начинает выполняться при . Следовательно,

    .
    2) . Данная функция имеет производную любого порядка и

    .

    Надо учесть, что

    Функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням x:

    .

    Формула Тейлора функции по степеням x имеет вид:

    ,

    где

    , .

    Отсюда следует, что и

    .

    Пример 19.3. Вычислим .

    Ряд Тейлора для синуса . Поэтому

    ,

    то есть .

    На самом деле остаток имеет вид , но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от x есть , то она есть также (но вообще не наоборот).
    3) . Аналогично можно получить, что

    .

    Пример 19.4. (с точностью до ).

    Пример 19.5. Вычислим .

    По аналогии с примером 19.3 получим

    ,

    то есть .
    4) Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Для при запишем формулу Тейлора. Так как , , то формула Тейлора имеет вид:

    .

    При , поэтому

    .

    Например, .
    5) Функция . Производные , . Формула Тейлора по степеням x имеет вид:

    .

    Для при , поэтому

    .

    Если , то функция есть многочлен. В этом случае для и ряд представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора.


    1 Тейлор Брук (1685-1731) – английский математик.

    1 Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик.

    2 Пеано Джузеппе (1858-1932) – итальянский математик.



    написать администратору сайта