Главная страница
Медицина
Экономика
Финансы
Биология
Сельское хозяйство
Ветеринария
Юриспруденция
Право
Языки
Языкознание
Философия
Логика
Этика
Религия
Социология
Политология
История
Информатика
Физика
Вычислительная техника
Математика
Искусство
Культура
Энергетика
Промышленность
Химия
Связь
Электротехника
Автоматика
Геология
Экология
Строительство
Механика
Начальные классы
Доп
образование
Воспитательная работа
Русский язык и литература
Классному руководителю
Другое
Дошкольное образование
Казахский язык и лит
Физкультура
Школьному психологу
Технология
География
Директору, завучу
Иностранные языки
Астрономия
Музыка
ОБЖ
Социальному педагогу
Логопедия
Обществознание

04 - Уравнения и системы уравнений. Лабораторная работа 4 уравнения и системы уравнений


Скачать 461.74 Kb.
НазваниеЛабораторная работа 4 уравнения и системы уравнений
Анкор04 - Уравнения и системы уравнений.pdf
Дата29.01.2017
Размер461.74 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файла04 - Уравнения и системы уравнений.pdf
ТипЛабораторная работа
#1008

Уравнения и системы уравнений
55
4.
Лабораторная работа №4
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: способы решения уравнений, системы уравнений.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитиче- ских решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвер- той
1
. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).
4.1.
Численное решение нелинейного уравнения
Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root (рис. 4.1).
root( f(х1, x2, …), х1, a, b )
Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть ска- лярами. Функция возвращает скаляр.
Аргументы:
f(х1, x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выра- жение. Выражение должно возвращать скалярные значения.
х1 – имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной пе- ред использованием функции root необходимо присвоить числовое значение.
Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.
a, bнеобязательны, если используются, то должны быть вещественными чис- лами, причем a < b.
Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:
1. Известны из физического смысла задачи.
2. Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.
3. Найдены графическим способом.
1
Доказательство этого факта связано с именами замечательных математиков
Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).

Лабораторная работа 4 56
Рис. 4.1. Решение уравнений средствами Mathcad
Наиболее распространен графический способ определения начальных при- ближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0
– это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно по- строить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графи- ков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением:
)
(
)
(
2 1
x
f
x
f

, где функции f
1
(x) и f
2
(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив гра- фики функций у = f
1
(x) и у = f
2
(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Графически определить корни уравнения:
x lg x = 1.
(4.1)
Уравнение (4.1) удобно переписать в виде равенства: lg x=
x
1
.
Пример

Уравнения и системы уравнений
57
Отсюда ясно, что корни уравнения (4.1) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y =
x
1
. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень
5
,
2


уравнения (4.1) или определим его со- держащий отрезок [2, 3].
Отсутствие сходимости функции root
Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближе- ния, то появится сообщение
(отсутствует сходимость).
Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.

Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корня- ми.

Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.
Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение кор- ня, тем быстрее будет root сходиться.
Рекомендации по использованию функции root

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно из- менить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увели- чивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее то- чен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида
. Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа,

Лабораторная работа 4 58
выберите команду Инструменты  Свойства таблицы…  Допуск схо-
димости (TOL).

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить
TOL, чтобы различить их.

Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция
root(f(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня доста- точно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0на g(x) = 0
)
(
)
(
)
(
x
f
dx
d
x
f
x
g


Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x) = f(x)/(x - a). По- добный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные прибли- жения.
4.2.
Нахождение корней полинома
Для нахождения корней выражения, имеющего вид
v
n
x
n
+ ... + v
2
x
2
+ v
1
x
+ v
0
, лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.
Polyroots(v)
Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней поли- нома.
Аргументы:
vвектор, содержащий коэффициенты полинома.
Вектор v удобно создавать, используя команду Символы Коэффициен-
ты полинома или символьный оператор coeffs. Рис. 4.2 иллюстрирует определе- ние корней полинома средствами Mathcad.

Уравнения и системы уравнений
59
Рис. 4.2. Определение корней полинома
4.3.
Решение систем уравнений
MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Макси- мальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.
Для решения системы уравнений (рис. 4.3, Пример 1) необходимо выпол- нить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее сле- дует система уравнений.

Набрать уравнения и неравенства в любом порядке. Для уравнений ис- пользуется знак равенства, набираемый комбинацией: [Ctrl]=. Между ле- выми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <,
>,  и .

Ввести любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:=
Find(х, у).

Лабораторная работа 4 60
Рис. 4.3. Решение систем уравнений
Find(z1, z2, . . .)
Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком реше-
ния уравнений.
Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

Ограничения со знаком .

Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

Неравенства вида a < b < c.
Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.
Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть исполь- зована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Уравнения и системы уравнений
61
Find(var1, var2,…) =.

Определить переменную с помощью функции Find:
a := Find(x) – скаляр,
var := Find(var1, var2,…) – вектор.
Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы урав- нений в другом месте рабочего документа.

Определить другую функцию с помощью Find
f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).
Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредствен- но входящих в систему уравнений.
Сообщение об ошибке
(Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:

Поставленная задача может не иметь решения.

Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве на- чального приближения взято вещественное число и наоборот.

В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нуж- но задать различные начальные приближения.

Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точно- стью. Увеличение значения переменной TOL может решить поставленную задачу.
Решение матричных
2
уравнений
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х
1
, х
2
, …, х
n
:



















,
,
2 2
1 1
2 2
2 22 1
21 1
1 2
12 1
11
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
(4.2)
В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система ли- нейных уравнений может быть записана в матричном виде
2
Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности.

Лабораторная работа 4 62
Ах = b,
(4.3) где:
,
,
2 1
2 1
2 22 21 1
12 11


























n
nn
n
n
n
n
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A




















n
b
b
b
b
2 1
(4.4)
Рис. 4.4. Решение матричных уравнений
Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствую- щих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответст- вующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элемен- тами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей
правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элемен- ты которой - искомые неизвестные, называется решением системы.
Если матрица А – неособенная, то есть det A  0, то система (4.2) или экви- валентное ей матричное уравнение (4.3), имеет единственное решение.

Уравнения и системы уравнений
63
В самом деле, при условии det A  0 существует обратная матрица А
-1
. Ум- ножая обе части уравнения (4.3) на матрицу А
-1
получим:
,
1 1
1
b
A
x
b
A
Ax
A





(4.5)
Формула (4.5) дает решение уравнения (4.3) и оно единственно.
Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.
lsolve(А, b)
Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.
Аргументы:
А - квадратная, не сингулярная матрица.
b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.
На Рис. 4.4 показано решение системы трех линейных уравнений относи- тельно трех неизвестных.
Приближенные решения
Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алго- ритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функ- ция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использова- ния функции Minerr такие же, как и функции Find.
Minerr(z1, z2, . . .)
Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.
4.4.
Символьное решение уравнений
В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помо- щью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности
Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.
Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или при- ближенные корни уравнения:

Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэто- му вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения па- раметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

Лабораторная работа 4 64

Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном век- торе или в аналитическом или цифровом виде.
Командасимвольной операции Символы  Переменные  Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Аналог символьной операции – оператор solve (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Решение системы уравнений с помощью оператора solve
Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.
Чтобы решить систему уравнений в символьном виде с помощью операто- ров Given/Find, необходимо:

Напечатать ключевое слово Given.

Ниже оператора Given напечатать уравнения в любом порядке, используя знак «булево равенство» ( [Ctrl]= ).

Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.

Для вывода результата использовать символьный знак равенства: .
Пример 2 (рис. 4.3) иллюстрирует символьное решение системы уравне- ний в MathCAD.

Уравнения и системы уравнений
65 4.5.
Порядок выполнения лабораторной работы №4
Построить график функции f(x)(Таблица 1) и приблизительно оп- ределить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x)= 0с точностью
 = 10
– 4 с помощью встроенной функции Mathcad root;
Таблица 1
В а р и а н т ы з а д а н и я 1
№ вари- анта
f(x)
№ вари- анта
f(x)
1
]
1
,
0
[
e
3 1




x
x
x
x
9
]
2
,
0
[
2 25 0
3



x
x
x
2
]
1
,
0
[
)
6 3
sin(
3 1



x
x
x
10
arccos
2 2
1 1
x
x


-x
х  2, 3]
3
]
1
,
0
[
3 0
1
arccos
3



x
x
x
11
]
4
,
2
[
5
ln
4 3



x
x
x
4
]
1
,
0
[
arcsin
4 0
1 2



x
x
x
12
]
1
,
0
[
2
e e




x
x
x
5
]
3
,
1
[
e e
14 3





x
x
x
x
13
]
1
,
0
[
tg
1



x
x
x
6
]
1
,
0
[
1
cos
2 1
2 2




x
x
x
14
]
2
,
0
[
)
1
ln(
sin
1





x
x
x
x
7
]
2
,
1
[
1 1
sin
2 2
cos















x
x
x
x
15
х
5
х – 0,2
х  1, 2]
8
]
2
,
1
[
ln
1 0
2


x
x
x
x
Задание 1

Лабораторная работа 4 66
Для полинома g(x) (Таблица 2) выполнить следующие действия:
1) с помощью символьного оператора coeffsсоздать вектор V, содержащий коэффициенты полинома;
2) решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots;
3) решить уравнение символьно с помощью символьного оператора solve.
Таблица 2
В а р и а н т ы з а д а н и я 2

g(x)

g(x)
1
x
4
- 2x
3
+ x
2
- 12x + 20
9
x
4
+ x
3
- 17x
2
- 45x - 100
2
x
4
+ 6x
3
+ x
2
- 4x - 60
10
x
4
- 5x
3
+ x
2
- 15x + 50
3
x
4
- 14x
2
- 40x - 75
11
x
4
- 4x
3
- 2x
2
- 20x + 25
4
x
4
- x
3
+ x
2
- 11x + 10
12
x
4
+ 5x
3
+ 7x
2
+ 7x - 20
5
x
4
- x
3
- 29x
2
- 71x -140
13
x
4
- 7x
3
+ 7x
2
- 5x + 100
6
x
4
+ 7x
3
+ 9x
2
+ 13x - 30
14
x
4
+ 10x
3
+36x
2
+70x+ 75
7
x
4
+ 3x
3
- 23x
2
- 55x - 150
15
x
4
+ 9x
3
+ 31x
2
+ 59x+ 60
8
x
4
- 6x
3
+ 4x
2
+ 10x + 75
Решить систему линейных уравнений (Таблица 3):
1) используя функцию Find;
2) матричным способом и используя функцию lsolve.
Таблица 3
В а р и а н т ы з а д а н и я 3
№ Система линейных уравнений № Система линейных уравнений
1




















4 2
2 4
3 2
6 3
3 8
3 2
2 4
3 2
1 4
2 1
3 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
9
























2 6
7 4
2 2
2 7
6 3
4 5
2 4
3 2
1 4
3 2
4 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2























7 3
2 8
17 2
3 2
22 4
3 2
4 3
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
10























26 3
2 4
26 2
4 3
34 4
3 2
26 4
3 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Задание 3
Задание 2

Уравнения и системы уравнений
67
Продолжение таблицы 3
№ Система линейных уравнений № Система линейных уравнений
3





















26 3
2 4
22 2
5 37 5
7 23 7
10 9
4 3
2 1
4 3
1 4
3 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
11






















21 2
11 10 28 2
3 2
18 2
3 8
2 4
3 2
4 3
2 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4























17 2
12 7
2 2
3 128 7
10 2
158 10 6
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
12























80 6
7 2
146 5
6 3
8 63 6
2 66 4
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5






















99 2
5 7
3 181 2
7 3
7 88 3
2 5
88 6
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
13























159 5
12 72 2
3 213 4
13 2
16 2
3 2
4 3
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
























7 2
2 10 5
8 6
7 4
7 8
2 4
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14























1 2
2 27 2
2 2
60 8
5 4
3 5
2 7
7 7
4 3
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7























30 5
3 37 5
3 4
18 2
15 6
2 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
15























45 6
9 3
83 4
2 5
5 54 5
7 124 5
9 6
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
























19 3
2 194 4
9 15 3
2 165 5
7 5
4 4
3 2
1 4
3 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Преобразовать нелинейные уравнения системы из Таблицы 4 к ви- ду f
1
(x) = y и f
2
(y)= x. Построить их графики и определить начальное прибли- жение решения. Решить систему нелинейных уравнений с помощью функции
Minerr.
Задание 4

Лабораторная работа 4 68
Таблица 4
В а р и а н т ы з а д а н и я 4

Система нелинейных уравнений

Система нелинейных уравнений
1










7
,
0 1
cos
,
2 2
sin
x
y
y
x
9











0 1
cos
2
,
4
,
0
sin
x
y
x
y
2











0 2
cos
,
1
)
5
,
0
sin(
x
y
y
x
10











5
,
0 2
cos
,
5
,
1
)
2
sin(
x
y
y
x
3










1 5
,
0
sin
2
,
5
,
1
cos
y
x
y
x
11








1 2
sin
,
2
)
5
,
0
cos(
x
y
y
x
4










6
,
1 2
sin
,
8
,
0 5
,
0
cos
x
y
y
x
12











1 5
,
0
sin
,
0
)
2
cos(
x
y
y
x
5











8 0
1
sin
,
3 1
)
1
sin(
y
x
y
x
13











1 5
,
0
sin
,
1
)
5
,
0
cos(
x
y
y
x
6








2 2
sin
,
1
)
5
,
0
cos(
x
y
y
x
14








2
)
5
,
0
cos(
,
1 2
)
sin(
x
y
y
x
7










3
,
1
)
1
sin(
,
8
,
0
)
1
sin(
x
y
y
x
15








5
,
1
)
cos(
,
1
)
5
,
0
sin(
2
x
y
x
y
8








3
,
1
)
1
sin(
,
1 2
)
sin(
x
y
y
x
Символьно решить системы уравнений:
1) с помощью функцию Find;
2) с помощью символьный оператор solve.








2
,
4 3
b
y
x
a
y
x













3
,
,
2
c
x
y
b
z
z
a
z
y
Задание 5

Уравнения и системы уравнений
69 4.6.
Контрольные вопросы
1. Способы нахождения начального приближения.
2. Функции для решения одного уравнения в MathCAD. В чем их отличие?
3. Необязательные аргументы функции root.
4. В каких случаях MathCAD не может найти корень уравнения?
5. Системная переменная, отвечающая за точность вычислений.
6. Изменение точности, с которой функция root ищет корень.
7. Системная переменная TOL, влияющая на решение уравнения с помощью функции root.
8. Функции для решения систем уравнений в MathCAD и особенности их при- менения.
9. Структура блока решения уравнений.
10. Знак равенства, используемый в блоке решения.
11. Выражения, недопустимые внутри блока решения уравнения.
12. Способы использования функции Find.
13. Случаи, когда MathCAD не может найти решение системы уравнений.
14. Сравнительная характеристика функций Find и Minerr.
15. Определение матричных уравнений.
16. Решение матричных уравнений. Способы решения матричных уравнений.
17. Символьное решение уравнений или систем уравнений в MathCAD. Какой знак равенства используется? Какой комбинацией клавиш вставляется в доку- мент?
18. Особенности использования символьного решения уравнений.
написать администратору сайта