Главная страница
Навигация по странице:

  • Задача №70, схема IX

  • Задача №14, схема XIV

  • Задача №71, схема I

  • Задача №29, схема IX

  • Задача №25, схема I

  • Контрольная работа (41 вариант). Контрольная работа по курсу Прикладная механика


    НазваниеКонтрольная работа по курсу Прикладная механика
    АнкорКонтрольная работа (41 вариант).doc
    Дата08.03.2017
    Размер0.5 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаКонтрольная работа (41 вариант).doc
    ТипКонтрольная работа
    #3550
    КатегорияМеханика

    Контрольная работа по курсу «Прикладная механика»

    (вариант 41)
    Задача №24, схема IV

    Трехступенчатый стальной брус, длины ступеней которого в миллиметрах указаны на рисунке 1, нагружен силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е = 2 · 105 МН/м2. Числовые значения сил F1 и F2, а также площадей поперечных сечений ступеней А1, А2 и А3 приведены в таблице 1.


    Рис. 1

    Таблица 1 – Исходные данные

    F1, кН

    F2, кН

    А1, см2

    А2, см2

    А3, см2

    9,9

    22,7

    1,8

    3,2

    3,5


    Решение:

    Для построения эпюр продольных сил разбиваем рассматриваемый брус на участки, границами которых являются сечения, к которым приложены внешние нагрузки. Представим это на рисунке 2.


    Рис. 2

    Проведем расчет методом отсечения участков, начиная от свободного конца. Определим продольные силы:

    N1 = – F1 = –9,9 кН

    N2 = –F1 + F2 = –9,9 + 22,7 = 12,8 кН
    Для построения эпюр нормальных напряжений, рассматриваемый брус разбивается на участки, на границе которых стыкуются участки разных диаметров. Представим это на рисунке 3.



    Рис. 3

    Нормальные напряжения определим по формулам:

    σ1 = N1 / A1 = –9900 / 180 = –55 Н/мм2

    σ2 = N1 / A2 = –9900 / 320 = –30,9 Н/мм2

    σ3 = N1 / A3 = –9900 / 350 = –28,3 Н/мм2

    σ4 = N2 / A3 = 12800 / 350 = 36,5 Н/мм2

    Знак минус нормального напряжения означает, что брус на данном участке испытывает сжатие. По полученным данным построим соответственно эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Для этого относительно базовой линии откладываем полученные значения, учитывая знак (рис. 4). Для удобства построения эпюры расположим брус горизонтально, тогда положительные значения будем откладывать выше, а отрицательные — ниже относительно базовой линии.


    Рис. 4
    Так как брус испытывает и сжатие, и растяжение, то происходит его укорочение и удлинение на характерных участках. Определение укорочения (удлинения) рассчитывается как алгебраическая сумма укорочений (удлинений) на каждом участке. Укорочение (удлинение) на отдельном участке определяется по формуле:

    ∆l = σ·l / E,

    где l – длина участка бруса, м;

    Е – модуль продольной упругости, Па.

    Коэффициент пропорциональности Е для сталей по условию задачи имеет значение Е = 2·105 МН/м2 или Е = 2·1011 Н/м2 = 2·105 Н/мм2. Нормальные напряжения нам известны, длины участков также, определяем укорочение (удлинение) на каждом участке:
    ∆l4 = σ4·150 / E = 36,5·150 / 2·105 = 0,027 мм

    ∆l3 = σ3·100 / E = –28,3·100 / 2·105 = –0,014 мм

    ∆l2 = σ2·250 / E = –30,9·250 / 2·105 = –0,038 мм

    ∆l1 = σ1·250 / E = –55·250 / 2·105 = –0,069 мм
    Знак минус означает, что первоначальная длина бруса на участке уменьшается, т.е. он сжимается, а знак плюс означает, что первоначальная длина бруса на участке увеличивается, т.е. он удлиняется. Определим полное укорочение (удлинение) бруса:
    ∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = –0,069 – 0,038 – 0,014 + 0,027 = –0,094 мм.

    В результате получили, что заданный брус сжимается по длине на 0,094 мм.

    Задача №70, схема IX

    Определить требуемый размер поперечного сечения стальных стержней (рис. 1), удерживающих в равновесии горизонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом, если [σ] = 160 МПа. Определив требуемое значение площади А, найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Исходные данные представлены в таблице 1.



    Рис. 1

    Таблица 1 – Исходные данные

    F, кН

    М, кН·м

    46

    18


    Решение:

    Для определения поперечного сечения стальных стержней определим реакции этих стержней. Для этого условно покажем их направление (рис. 2).



    Рис. 2

    Здесь RB, RC — реакции стержней ВЕ и СF соответственно. У шарнирно-неподвижной опоры две реакции, но в нашем случае второй пренебрегаем, так как она направлена вдоль заданного бруса, а значит, равна нулю. Так как брус находится в равновесии, составим систему уравнений моментов сил относительно центров приведения В и С .

    ΣМВ(Fi) = 0 => М + 2,0·F – 1,4·RС = 0

    ΣМС(Fi) = 0 => М + 3,4·F – 1,4·RВ = 0
    Отсюда выражаем усилия, возникающие в стержнях от действия внешней нагрузки.



    = 78,5 кН



    = 124,5 кН
    Проведем проверку сил относительно оси Y:

    ΣFy = 0 => F – RВ + RС = 0

    46 – 124,5 + 78,5 = 0

    0 = 0

    Реакции стержней определены правильно.

    Определяем требуемую площадь поперечного сечения стальных стержней по формуле:

    A = R / [σ]

    ABE = RB / [σ] = 124,5·103 / 160 = 778,125 мм2 = 7,78 см2

    ACF = RC / [σ] = 78,5·103 / 160 = 490,625 мм2 = 4,9 см2
    Зная требуемые значения площадей, определим расчетные напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Для этого по формуле Эйлера определим величину наибольшей допускаемой нагрузки:

    Fнд = π2·Е·Jmin / l2,

    где Jmin – минимальное значение момента инерции поперечного сечения стержня, мм4;

    Е – модуль продольной упругости (для сталей имеет табличное значение Е = 2,1·105 МПа);

    l – длина стержня, м.

    Jmin1 = (ABE­)2 / 12 = (778,125­)2 / 12 = 50,4·10-9 м4

    Jmin2 = (ACF­)2 / 12 = (490,625)2 / 12 = 20·10-9 м4

    FBE = π2·Е·Jmin1 / (lBE)2 = 3,142·2,1·105·106·50,4·10-9 / 1,52 = 46379 Н

    FCF­ = π2·Е·Jmin2 / (lCF­)2 = 3,142·2,1·105·106·20·10-9 / 0,82 = 64703 Н
    Расчетные напряжения стержней:

    σВЕ = FBE / ABE = 46379 / 778,125 = 59,6 МПа

    σCF = FCF­ / ACF­ = 64703 / 490,625 = 131,8 МПа

    Задача №14, схема XIV

    Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, форма и размеры которой в миллиметрах показаны на рисунке 1. Исходные данные представлены в таблице 1.



    Рис. 1
    Таблица 1 – Исходные данные

    a, мм

    b, мм

    540

    430


    Решение:

    Для определения центра тяжести сечения геометрической фигуры разобьем сложную фигуру на более простые и определим в каждой из этих фигур центр тяжести, чтобы впоследствии можно было воспользоваться формулой для нахождения координат центра тяжести заданной фигуры:
    xc = Σ(Ai·xi) / Σ(Ai)

    yc = Σ(Ai·yi) / Σ(Ai)

    где Аi – площадь сечения, входящего в состав фигуры, см2.

    Разобьем фигуру так, как показано на рисунке 2 и проведем вспомогательные оси x0 и y0.



    Рис. 2

    Зная, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его меридиан, а центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, определяем центр тяжести всех составных фигур. Не сложно определить, что координаты центров С1, С2 и С3 будут равны:

    xC1 = 130 мм = 13 см,

    yC1 = b– 200 + 200/2 = 430– 200 + 200/2 = 330 мм = 33 см;
    xC2 = 130 + 40 = 170 мм = 17 см,

    yC2 = 430– 200 + 80 + (200 – 80)/2 = 90 мм = 9 см;
    xC3 = 260 + 80 + (540 – 260 – 80)/2 = 440 мм = 44 см,

    yC3 = yC1 = 330 мм = 33 см;
    Для определения координат центра тяжести С4 воспользуемся формулой:

    xC4 = (xА1 + xB1 +xD1) / 3,

    yC4 = (yА1 + yB1 +yD1) / 3;

    где xА1, yА1; xB1, yB1; xD1, yD1 – координаты вершин треугольника.

    Определим координаты вершин треугольников из рисунка 3.



    Рис. 3
    Координаты вершин треугольника будут следующими:

    xА1 = 260 мм = 26 см,

    yА1 = 430 – 200 = 230 мм = 23 см;
    xB1 = 540 мм = 54 см,

    yB1 = yА1 = 230 мм = 23 см;
    xD1 = xB1 = 540 мм = 54 см,

    yD1 = 0;

    Теперь определяем координаты центра тяжести С4:

    xC4 = (26 + 54 + 54) / 3 = 44,6 см,

    yC4 = (23 + 23 + 0) / 3 = 15,3 см
    Определим площади сечений составных фигур. Площади прямоугольников будут равны:

    А1 = 26 · 20 = 520 см2,

    А2 = 12 · 8 = 96 см2,

    А3 = 20 · 20 = 400 см2,
    Площадь прямоугольного треугольника определим по формуле:

    А4 = ½ · а · h = ½ · 23 · 28 = 322 см2
    Теперь зная координаты центров тяжести всех сечений и их площади, определим координаты центра тяжести сечения составной фигуры:

    xc = (A1·xС1 + A2·xС2 + A3·xС3 + A4·xС4) / (A1 + A2 + A3 + A4)

    xc = (520·13 + 96·17 + 400·44 + 322·44,6) / (520 + 96 + 400 + 322) = 30,16 см
    yc = (A1·yС1 + A2·yС2 + A3·yС3 + A4·yС4) / (A1 + A2 + A3 + A4)

    yc = (520·33 + 96·9 + 400·33 + 322·15,3) / (520 + 96 + 400 + 322) = 27 см
    Таким образом центр тяжести фигуры находится в точке С (xc; yc) = (301,6; 270) относительно вспомогательных координатных осей x0 и y0.

    Задача №14, схема XIV

    Для двухопорной балки (рис. 1) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и подобрать необходимый размер d сечения деревянной балки, составленной из двух круглых брусьев. Для дерева [σ] = 10 МПа = 10 Н/мм2. Необходимые исходные данные приведены в таблице 1.



    Рис. 1

    Таблица 1 – Исходные данные

    F1, кН

    F2, кН

    М, кН·м

    9,9

    22,7

    1,8


    Решение:

    Изгиб прямых брусьев вызывается парами сил или силами перпендикулярными к его продольной оси. При таком виде деформации в поперечном сечении тела (балки) возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила QX и изгибающий момент Ми. Поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

    Qy = ΣFi

    Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов сил по одну сторону от рассматриваемого сечения:

    Ми = Σ М0(Fi)

    Для построения эпюр сначала необходимо определить реакции опор балки. В нашем случае балка расположена на двух опорах, шарнирно подвижной и шарнирно неподвижной, условно покажем направление их реакций на рисунке 2. Если реакция получится со знаком минус, то это будет означать, что мы не угадали её направление, т.е. сила в действительности будет направлена в обратную сторону.



    Рис. 2
    В шарнирно неподвижной опоре D возникают две реакции, но второй пренебрегаем, так как в наших расчетах она равна нулю, потому что направление вектора совпадает с осью балки и пересекается с центрами опор: ΣFx = 0 => RDx = 0.

    Для определения реакций опор балки RB, RD составим систему уравнений моментов относительно опоры B и D.

    ΣМB(Fi) = 0 => –2,0·F2 – 5,0·RD + 2,6·F1 + M = 0

    ΣМD(Fi) = 0 => –2,4·F1 + М + 5,0·RB – 7,0·F2 = 0

    Отсюда находим реакции опор:

    RD = (–2,0·F2 + 2,6·F1 + M) / 5,0 = (–2,0·22,7 + 2,6·9,9 + 1,8) / 5,0 = –3,57 кН

    RB = (2,4·F1 – М + 7,0·F2) / 5,0 = (2,4·9,9 – 1,8 + 7,0·22,7) / 5,0 = 36,17 кН
    Знак минус реакции опоры RD означает, что мы не угадали ее направление, т.е. сила в действительности направлена в обратную сторону, как показано на рисунке 3.



    Рис. 3

    Проведем проверку по алгебраической сумме проекций всех внешних сил на ось перпендикулярную балке:

    –RD + RВ – F2 – F1 = 0

    –3,57 + 36,17 – 22,7 – 9,9 = 0

    0 = 0

    Реакции опор определены правильно.

    Для построения эпюры поперечных сил в соответствии с местом приложения нагрузок — пары сил с моментом М, сосредоточенных сил F1, F2 и реакций опор RD, RВ, разделим балку на три участка: I, II, III (рис. 4). Так как все участки балки свободны от распределенной нагрузки, то поперечные силы на каждом участке постоянны и эпюра Qy изобразится прямыми линиями, параллельными базовой линии.



    Рис. 4
    Определим значения поперечных сил на каждом участке, применяя метод сечения начиная от правого конца балки.

    QyIII = RD = 3,57 кН;

    QyII = F1 + RD = 9,9 + 3,57 = 13,47 кН;

    QyI = F1 + RD – RВ = 9,9 + 3,57 – 36,17 = –22,7 кН.

    По полученным данным строим эпюру Qy (рис. 5).



    Рис. 5
    Для построения эпюры изгибающих моментов Ми, применяя метод сечений, вычислим значения изгибающих моментов в характерных точках. При этом можно рассматривать равновесие как левой, так и правой отсеченной части — результаты будут одинаковы.

    МА = 0;

    МВ = –2,0·F2 = –2,0·22,7 = –45,4 кН·м;

    МСслева = –4,6·F2 + 2,6·RB = –4,6·22,7 + 2,6·36,17 = –10,38 кН·м;

    МСсправа = –4,6·F2 + 2,6·RB + М = –4,6·22,7 + 2,6·36,17 + 1,8 = –8,58 кН·м;

    МD = –7,0·F2 + 5,0·RB + М – 2,4·F1 = –7,0·22,7 + 5,0·36,17 + 1,8 – 2,4·9,9 = 0;

    По полученным данным строим эпюру Ми (рис. 6).


    Рис. 6
    Рассматривая эпюры и нагрузки на балку с точки зрения общих правил построения эпюр, видим, что построенные эпюры не содержат принципиальных ошибок. Например, там где Q < 0 (участок I), момент Ми убывает; где Q > 0 (участок II и III), изгибающий момент возрастает. На эпюре Q в сечениях, где приложены силы и реакции, имеет место скачок, равный значению этой силы, а на эпюре Ми — излом, острие которого направлено против действия силы. В сечении С, где приложена пара сил, на эпюре Ми наблюдается скачок, равный моменту этой пары, а в эпюре Q нет никаких изменений.

    Из условия прочности на изгиб через наибольший изгибающий момент в сечении балки определим её диметр, выразив его из формулы условия прочности:
    σ = |Миmax| / Wx ≤ [σ],

    где

    Wx = 0,1·d3

    отсюда

    d ≥ ,
    Исходя из условия задачи, заданная балка состоит из двух брусьев, поэтому выражение примет вид:

    d ≥ ,

    d ≥ = 283 мм
    Мы получили, что диаметр одного бруса составной балки для данного условия прочности не должен быть меньше 283 мм.

    Задача №71, схема I

    Для двухопорной балки, нагруженной как показано на рисунке 1, определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и подобрать необходимый размер поперечного сечения (двутавр), приняв [σ] = 160 Н/мм2. Необходимые исходные данные приведены в таблице 1.



    Рис. 1

    Таблица 1 – Исходные данные

    F, кН

    q, кН/м

    М, кН·м

    50

    20

    30


    Решение:

    Для построения эпюр внутренних силовых факторов необходимо определить реакции связей. В данной задаче будем рассматривать плоскую систему произвольно-расположенных сил. Так как по условию задачи имеем одну шарнирно-подвижную опору и одну шарнирно-неподвижную, то на первую будет действовать одна реакция, а на вторую две реакции опоры. Условно покажем реакции опор, действующих на балку, на координатной плоскости и определим их значения исходя из условия, что поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

    Qy = ΣFi
    Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов сил по одну сторону от рассматриваемого сечения:

    Ми = Σ М0(Fi)
    Как мы отметили, в шарнирно неподвижной опоре возникают две реакции, но второй пренебрегаем, так как в наших расчетах она равна нулю, потому что направление вектора совпадает с осью балки и пересекается с центрами опор: ΣFx = 0 => RAx = 0 (рис. 2).



    Рис. 2

    Для определения реакций опор балки RА, RD составим систему уравнений моментов сил относительно опор А и D, учитывая, что на балку действует распределенная нагрузка q. Если расчетные силы получатся со знаком минус, то это означает, что действительное направление вектора силы будет в обратную сторону.

    ΣМА(Fi) = 0 => 3·q·3/2 + 4·F – 5·RD + М = 0

    ΣМD(Fi) = 0 => –1·F – 3·q·3,5 + 5·RA + М = 0
    Отсюда определяем реакции опор:

    RD = (3·q·3/2 + 4·F + М) / 5 = (3·20·3/2 + 4·50 + 30) / 5 = 64 кН

    RA = (1·F + 3·q·3,5 – М) / 5 = (1·50 + 3·20·3,5 – 30) / 5 = 46 кН
    Проведем проверку по алгебраической сумме проекций всех внешних сил на ось перпендикулярную балке:

    RA – 3·q – F + RD = 0

    46 – 3·20 – 50 + 64 = 0

    0 = 0

    Реакции опор определены правильно.

    Для построения эпюры поперечных сил в соответствии с местом приложения нагрузок разделим балку на три участка: I, II, III (рис. 3).

    Балка имеет участок с равномерно распределенной нагрузкой, следовательно, значение поперечной силы будет изменяться по линейному закону и ее эпюра изобразится наклонным отрезком прямой, а на эпюре изгибающих моментов изобразится дугой параболы. На участке балки свободном от распределенной нагрузки поперечная сила постоянна и эпюра Qy изобразится прямой, параллельной базовой линии.


    Рис. 3

    Определим значения поперечных сил Qy на каждом участке, применяя метод сечения.

    QyIII = –RD = –64 кН;

    QyII = –RD + F = –64 + 50 = –14 кН;

    QyI = –RD + F + x·q, где 0 ≤ x ≤ 3

    при x = 0: QyI = –64 + 50 + 0·20 = –14 кН;

    при x = 3: QyI = –64 + 50 + 3·20 = 46 кН;
    По полученным данным строим эпюру Qy (рис. 4).



    Рис. 4

    Для построения эпюры изгибающих моментов Ми, применяя метод сечений, вычислим значения изгибающих моментов в характерных точках. При этом можно рассматривать равновесие как левой, так и правой отсеченной части — результаты будут одинаковы.

    МАслева = 0; МАсправа = М = 30 кН·м;

    МВ = 3·RA – 3·q·3/2 + M = 3·46 – 3·20·3/2 + 30 = 78 кН·м;

    МС = 4·RA – 3·q·2,5 + M = 4·46 – 3·20·2,5 + 30 = 64 кН·м;

    МD = 5·RA – 3·q·3,5 + M – 1·F = 5·46 – 3·20·3,5 + 30 – 1·50 = 0

    Как видим на участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра поперечной силы наклонной прямой пересекает нулевую ось. Положение сечения, где Qy = 0, необходимо определить, так как исходя из дифференциальной зависимости изгибающего момента от поперечной силы dMи/dx = Q в сечении, где поперечная сила изменяет знак, переходя от Qy > 0 к Qy < 0, изгибающий момент достигает максимального значения.

    Для определения точки наибольшего изгибающего момента необходимо решить уравнение QyI = –RD + F + x·q = 0, так как именно на участке I эпюра поперечной силы пересекает базовую линию:

    x = (RD – F) / q

    x = (64 – 50) / 20 = 0,7 м

    Так как при вычислении поперечных сил методом сечения мы отсекали балку справа налево, то найденное значение x — это расстояние от точки B, на которое отстоит сечение Е, в котором Qy = 0 (рис. 5).



    Рис. 5
    Исходя из этого, определим изгибающий момент в экстремальном сечении, рассматривая левую отсеченную часть балки и правую для подтверждения правильности построения эпюры Ми:

    МЕслева = 2,3·RA – 2,3·q·2,3/2 + M = 2,3·46 – 2,3·20·2,3/2 + 30 = 82,9 кН·м;

    МЕсправа = 2,7·RD + 0,7·q·0,7/2 + 1,7·F = 2,7·64 – 0,7·20·0,7/2 – 1,7·50 = 82,9 кН·м;

    Совпадение значений МЕ­ подтверждает правильность расчета.

    Изгибающий момент есть квадратичная функция от x, поэтому на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изгибающего момента изображается параболой, выпуклость которой обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки; при этом на участке, где Q > 0 (AЕ), изгибающий момент возрастает, если Q < 0 (ЕВ), изгибающий момент убывает (рис. 6).

    Рис. 6

    Из условия прочности на изгиб через наибольший изгибающий момент в сечении балки определим необходимые размеры поперечного сечения двутавра для заданной балки.

    Из эпюры Ми следует, что в опасном сечении Ми = 82,9 кН·м = 82,9·103 Н·м. Приняв по условию задачи [σ] = 160 Н/мм2, по формуле находим необходимое значение момента сопротивления сечения при изгибе:

    Wи ≥ Миmax / [σ],

    Wи ≥ 82,9·103 / 160·106 = 0,000518 м3 = 518 см3.
    В соответствии с ГОСТ 8239-89 требуемому значению момента сопротивления соответствуют двутавр №33 с Wи = 597 см3, показанному на рисунке 7 [2, приложение 1]. Площадь поперечного сечения этого двутавра 53,8 см2, высота h = 330 мм, ширина полки b = 140 мм, толщина стенки s = 7,0 мм, средняя толщина полки t = 11,2 мм. Масса 1 м двутавра составляет 42,2 кг.

    Рис. 7


    Задача №29, схема IX

    Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами (рис. 1), передающего мощность Р, кВт, при угловой скорости ω, рад/с: а) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников; б) построить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; г) определить диаметр d вала, приняв [σ] = 70 МПа и полагая Fr1 = 0,4·Ft1, Fr2 = 0,4·Ft2. Расчет производить по гипотезе наибольших касательных напряжений. Числовые значения мощности Р и угловой скорости ω представлены в таблице 1.



    Рис. 1
    Таблица 1 – Исходные данные

    Р, кВт

    ω, рад/c

    46

    18


    Решение:

    Для нахождения реакций опор составим расчетную схему вала. Обозначим точки опор и действующие на вал реакции опор в вертикальной и горизонтальной плоскости (рис. 2).



    Рис. 2
    Определим вращающий момент М1, приложенный к левому концу вала:

    М1 = Р / ω

    М1 = 46·103 / 18 = 2,55 кН·м
    Учитывая, что момент М1 в точке С равен:

    М1 = Ft1·(D2/2),

    определим касательную силу Ft1:

    Ft1 = 2·М1 / D2

    Ft1 = 2·2,55 / 0,12 = 42,5 кН
    Радиальную силу определим из условия задачи:

    Fr1 = 0,4·Ft1

    Fr1 = 0,4·42,5 = 17 кН

    Так как вал передает мощность Р при угловой скорости вращения ω на протяжении всего участка, то в любом сечении на этом участке крутящий момент будет иметь одинаковое значение. Исходя из этого получаем равенство моментов М1 = М2. Отсюда определим касательную силу Ft2:

    М2 = М1 = Ft2·(D1/2)

    Ft2 = 2·М1 / D1

    Ft2 = 2·2,55 / 0,36 = 14,16 кН
    Радиальную силу определим из условия задачи:

    Fr2 = 0,4·Ft2

    Fr2 = 0,4·14,16 = 5,6 кН
    Определим реакции опор Ray и Rby, исходя из условия ΣМА(Fy) = 0; ΣМB(Fy) = 0:

    ΣМА(Fy) => –0,3·Rby + 0,1·Fr1 + 0,42·Fr2 = 0 =>

    ΣМB(Fy) => 0,3·Ray – 0,2·Fr1 + 0,12·Fr2 = 0 =>
    Отсюда получаем:

    Rby = (0,1·Fr1 + 0,42·Fr2) / 0,3

    Rby = (0,1·17 + 0,42·5,6) / 0,3 = 13,5 кН

    Ray = (0,2·Fr1 – 0,12·Fr2) / 0,3

    Ray = (0,2·17 – 0,12·5,6) / 0,3 = 9,1 кН
    Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение, исходя из условия ΣFy = 0:

    Ray + Rby – Fr1 – Fr2 = 0

    9,1 + 13,5 – 17 – 5,6 = 0

    0 = 0

    Реакции определены правильно.
    Определим реакции опор Raz и Rbz, исходя из условия ΣМА(Fz) = 0; ΣМB(Fz) = 0:
    ΣМА(Fz) => –0,3·Rbz – 0,42·Ft2 + 0,1·Ft1 = 0 =>

    ΣМB(Fz) => 0,3·Raz – 0,2·Ft1 – 0,12·Ft2 = 0 =>
    Отсюда получаем:

    Rbz = (–0,42·Ft2 + 0,1·Ft1) / 0,3

    Rbz = (–0,42·14,16 + 0,1·42,5) / 0,3 = –5,66 кН
    Raz = (0,2·Ft1 + 0,12·Ft2) / 0,3

    Raz = (0,2·42,5 + 0,12·14,16) / 0,3 = 34 кН
    Реакция Rbz получилась со знаком минус. Это значит, что её вектор силы направлен в противоположную сторону от выбранного нами направления.

    Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение, исходя из условия ΣFz = 0:

    Raz + Rbz + Ft2 – Ft1 = 0

    34 + (–5,66) + 14,16 – 42,5 = 0

    0 = 0

    Реакции определены правильно.
    На участке от правого зубчатого колеса до левого вал скручивается моментом М2. Следовательно, в любом сечении на этом участке крутящий момент МК = |М2| = 2,55 кН·м и эпюра крутящих моментов отобразится следующим образом (рис. 3):


    Рис. 3
    Под действием сил Ray, Rby, Fr1, Fr2 вал изгибается на участке AD в вертикальной плоскости. Определим изгибающие моменты в характерных точках:

    МА = 0;

    МС = 0,1·Ray = 0,1·9,1 = 0,91 кН·м;

    МВ = 0,3·Ray – 0,2·Fr1 = 0,3·9,1 – 0,2·17 = –0,67 кН·м;

    МD = 0,42·Ray – 0,32·Fr1 + 0,12·Rby = 0,42·9,1 – 0,32·17 + 0,12·13,5 = 3,822 – 5,44 + 1,62 = 0

    По полученным данным строим эпюру МZ.



    Рис. 4
    Под действием сил Raz, Rbz, Ft1, Ft2 вал изгибается на том же участке AD, но в горизонтальной плоскости. Определим изгибающие моменты в характерных точках:

    МА = 0;

    МС = 0,1·Raz = 0,1·34 = 3,4 кН·м;

    МВ = 0,3·Raz – 0,2·Ft1 = 0,3·34 – 0,2·42,5 = 1,7 кН·м;

    МD = 0,42·Raz – 0,32·Ft1 + 0,12·Rbz = 0,42·34 – 0,32·42,5 + 0,12·(–5,66) = 14,28 – 13,6 – 0,68 = 0;

    По полученным данным строим эпюру МY.

    Рис. 5
    Применяя третью гипотезу прочности (наибольших касательных напряжений), определяем эквивалентный момент МЭКВ в опасном сечении вала по формуле:

    МЭКВ =

    МЭКВ = = 4,35 кН·м

    Из условия прочности, принимая [σ] = 70 МПа = 70 Н/мм2 (для самого жесткого случая), находим требуемый момент сопротивления вала:

    WOC = МЭКВ / [σ]

    WOC = 4,35·106 / 70 = 62142,85 мм3

    Из формулы момента сопротивления для круглого сечения находим диаметр вала:

    d =

    d = = 85,8 мм
    Задача №25, схема I

    Проверить на устойчивость сжатую стойку (рис. 1), если [Sy] = 3,5. Данные для решения приведены в таблице 1. Размеры сечений стойки даны в миллиметрах.


    Рис. 1
    Таблица 1 – Исходные данные

    F, кН

    l, м

    Материал

    150

    4

    Чугун


    Решение:

    Для того, чтобы проверить на устойчивость сжатую стойку, необходимо определить допускаемое значение сжимающей силы по формуле F = Fкр / [Sy], где Fкр – это максимальная сжимающая нагрузка, при которой стержень уже теряет устойчивость, а [Sy] – коэффициент запаса на устойчивость. По формуле Эйлера имеем:

    Fкр = π2·Е·Jmin / (μ·l)2,

    где Е – модуль продольной упругости материала (для чугуна Е = 0,75·105 МПа);

    Jmin – минимальное значение осевого момента инерции поперечного сечения стержня;

    μ – коэффициент приведения длины (способ закрепления концов стержня);

    l – длина стержня или балки, м.

    Определим момент инерции прямоугольного сечения по условию задачи по формуле:

    Jmin = J = b·h3/12 = 3430000 мм4 = 343·10-8 м4

    Для нашего случая закрепления стержня (один конец заделан жестко, другой свободный) коэффициент μ = 2.

    Определяем значение критической силы:

    Fкр = (3,142·0,75·1011·343·10-8) / (2·42) = 39631 Н = 39,6 кН.

    Из формулы действительного коэффициента запаса прочности определяем допускаемое значение сжимающей силы:

    F = Fкр / [Sy]

    F = 39,6/3,5 = 11,3 кН

    Получили, что допускаемая нагрузка, которую может выдержать стержень, равна Fadm = 11,3 кН.
    написать администратору сайта