Главная страница
Навигация по странице:

  • Контрольная работа №4

  • Контрольная работа №3 (1 курс 2 семестр) 20 вариант. Контрольная работа 3 Задание Вычислите определенные интегралы. 10. а б Решение.. б Решение


    Скачать 378.63 Kb.
    НазваниеКонтрольная работа 3 Задание Вычислите определенные интегралы. 10. а б Решение.. б Решение
    АнкорКонтрольная работа №3 (1 курс 2 семестр) 20 вариант.docx
    Дата22.04.2017
    Размер378.63 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаКонтрольная работа №3 (1 курс 2 семестр) 20 вариант.docx
    ТипКонтрольная работа
    #5164
    КатегорияМатематика

    Контрольная работа №3

    Задание 1. Вычислите определенные интегралы.

    10. а) б)

    Решение.

    ===

    ==.

    б)

    Решение.

    ===

    ===.

    Задание 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделайте рисунок.

    20.

    Построим область


    ==

    =.

    Ответ: 16,5 кв. ед.

    Задание 3. Найдите общие решения дифференциальных уравнений.

    30. а) б)

    Решение.

    , .

    Подстановка .

    , , .

    , , ,

    , , ,

    , – общее решение дифференциального уравнения.
    б)

    Решение.

    Составим хараетеристическое уравнение

    , – корни характеристического уравнения: , , .

    Общее решение дифференциального уравнения



    Задание 4. Решите задачу Коши при начальном условии

    40.

    Решение.

    Подстановка: .

    , .

    Пусть .

    , , , , .

    , , , ,

    – общее решение.

    Решим задачу Коши

    ,

    – частное решение.

    Задание 5. Вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью:

    1) двойного интеграла;

    2) тройного интеграла.

    50.

    Решение.

    Проекция тела на плоскость хОу



    Определим объем тела:

    1. ==

    =.
    2. ==

    ==.

    Ответ: 1/6 куб.ед.

    Задание 6. Даны векторное поле и две поверхности и Вычислите:

    1) поток векторного поля через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями и в направлении внешней нормали;

    2) циркуляцию векторного поля вдоль линии L пересечения поверхностей и в положительном направлении обхода относительно орта

    60.

    Решение.

    1. Так как поверхность σ замкнута и нормаль внешняя, то для вычисления потока вектора через эту поверхность воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского.

    .

    Поток равен.

    = =

    = = .
    2.

    Найдем циркуляцию по формуле Стокса.



    .

    ; ; .

    =.

    S – площадь проекции поверхностей и на плоскость (окружность радиуса 1 с центром в начале координат). .



    Контрольная работа №4

    Задание 1. Исследуйте сходимость числового ряда.

    70.

    Решение.



    Найдем предел отношения



    Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходиный признак сходимасти .


    Задане 2. Найдите радиус и область сходимости степенного ряда, установите тип сходимости (абсолютная, условная сходимость).

    80.

    Решение.

    Рассмотрим ряд из модулей:

    , .

    Найдем радиус сходимости



    Область сходимости: .

    Иследуем сходимость ряда на концах интервала

    , ряд расходится (по предельному признаку сраввнения, сравниваем с рядом ).

    , – расходится.

    Исследуем ряд на концах интервала

    , –расходится.
    , – знакочерезующийся ряд.

    Воспольузуемся признаком Лейбница.

    1-ое условие: – выполняется.

    2-ое условие: – выполняется.

    При – ряд сходится.

    Область содимости:

    Задание 3. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена.

    90.

    Решение.

    Разложим функцию в степенной ряд

    = .

    = .

    Тогда = =

    ==

    Для вычисления интеграла достаточно 5-ть первых членов ряда (6-ой член ряде не провосходит величины 0,001):

    .
    Задания 4. На промежутке задана периодическая функция

    1) постройте график функции;

    2) разложите функцию в ряд Фурье;

    3) постройте график суммы ряда Фурье.

    100.

    Решение.



    Разложим функцию в ряд Фурье ,

    где , .

    Вычислим коэффициенты ряда Фурье , .

    = =

    = = = =

    =.

    = =

    = =

    = .



    Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

    .




    Задание 5. Разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки

    110.

    Решение.

    .

    Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z)  мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2.

    .

    Тогда




    Задание 6. Вычислите заданный интеграл при помощи вычетов.

    120.

    Решение.

    Контур интегрирования представляет собой окружность радиуса 3 с центром в точке .

    Внутри контура находятся две изолированные особые точки подынтегральной функции и – простые полюса.

    =.

    ==== 0.

    ====.

    = = .


    Задание 7. Найдите изображение заданного оригинала

    130.

    Решение.

    .

    По таблице изображений находим.



    написать администратору сайта