Главная страница
Навигация по странице:

  • Что такое численные методы

  • [ Калиткин ] Численные методы. Численные методы


    Скачать 6.73 Mb.
    НазваниеЧисленные методы
    Анкор[ Калиткин ] Численные методы.pdf
    Дата03.02.2017
    Размер6.73 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файла[ Калиткин ] Численные методы.pdf
    ТипКнига
    #1928
    КатегорияМатематика

    ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
    Н. Н. К а л и т к и н
    В книге излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач,
    возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Для каждого метода даны практические рекомендации по применению. Для лучшего понимания алгоритмов приведены примеры численных расчетов.
    Книга предназначена для студентов, аспирантов В преподавателей университетов и технических институтов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с численными расчетами.
    ОГЛАВЛЕНИЕ
    Предисловие редактора
    Предисловие
    Глава I

    Что такое численные методы?
    1. Решение задачи (13). 2. Численные методы (15). 3. История прикладной математики (16).
    13
    § 2. Приближенный анализ
    1. Понятие близости (17). 2. Структура погрешности (22). 3. Корректность (24).
    17 26
    Г л а в а II
    Аппроксимация функций
    § 1. Интерполирование
    1. Приближенные формулы (27). 2.
    Линейная интерполяция (27). 3.
    Интерполяционный многочлен Ньютона
    (29). 4. Погрешность многочлена Ньютона
    (31). 5. Применения интерполяции (34). 6.
    Интерполяционный многочлен Эрмита (36).
    7. Сходимость интерполяции (39). 8.
    Нелинейная интерполяция (41).
    Интерполяция сплайнами (44). Монотонная интерполяция (46). 11. Многомерная интерполяция (47).
    27
    § 2. Среднеквадратичное приближение
    1. Наилучшее приближение (51). 2.
    Линейная аппроксимация (53). 3.
    Суммирование рядов Фурье (56). Метод наименьших, квадратов (59. Нелинейная аппроксимация (62).
    51
    § 3. Равномерное приближение
    1. Наилучшие приближения (66). 2.
    Нахождение равномерного приближения
    (68).
    66 69
    Г л а в а III
    Численное дифференцирование
    1. Полиномиальные формулы (70). 2.
    Простейшие формулы (72). 3. Метод Рунге
    — Ромберга (74). 4. Квазиравномерные сетки (78). 5. Быстропеременные функции
    (80). 6. Регуляризация дифференцирования
    (81).
    84
    Г л а в а IV
    Численное интегрирование
    § 1. Полиномиальная аппроксимация
    1. Постановка задачи (85). Формула трапеций (86). 3. Формула Симпсона (88). 4.
    Формула средних (89). 5. Формула Эйлера
    (91). 6. Процесс Эйткена (92). 7. Формулы
    Гаусса— Кристоффеля (94). 8. Формулы
    Маркова (97). 9. Сходимость квадратурных формул (98).
    85
    § 2. Нестандартные формулы
    1. Разрывные функции (100). 2. Нелинейные формулы (100). 3. Метод Филона (103). 4.
    Переменный предел интегрирования (105).
    5. Несобственные интегралы (105).
    100
    § 3. Кратные интегралы
    1. Метод ячеек (108). 2. Последовательное интегрирование (111).
    108
    § 4. Метод статистических испытаний
    1. Случайные величины (113). 2.
    Разыгрывание случайной величины (114). 3.
    Вычисление интеграла (117). 4.
    Уменьшение дисперсии (119). 5. Кратные интегралы (121). 6. Другие задачи (123).
    113
    Задачи
    124
    Глава V
    Системы уравнений
    § 1. Линейные системы
    1. Задачи линейной алгебры (126). 2. Метод исключения Гаусса (128). 3. Определитель и обратная матрица (130). 4. 0 других прямых методах (132). 5. Прогонка (132). Метод квадратного корня (135). 7. Плохо обусловленные системы (137).
    126
    § 2. Уравнение с одним неизвестным
    1. Исследование уравнения (138). 2.
    Дихотомия (139). 3. Удаление корней (140).
    4. Метод простых итераций (141). 5. Метод
    Ньютона (143). 6. Процессы высоких порядков (145). Метод секущих (145). 8.
    Метод парабол (146). 9. Метод квадрирования (148).
    138
    § 3. Системы нелинейных уравнений
    1. Метод простых итераций (150). 2. Метод
    150

    Ньютона (152). 3. Метод спуска (153). 4.
    Итерационные методы решения линейных систем (153). -
    Задачи
    155
    Глава VI
    Алгебраическая проблема собственных значений
    § 1. Проблема и простейшие методы
    1. Элементы теории (156). 2. Устойчивость
    (159). 3. Метод интерполяции (162). 4.
    Трехдиагональные матрицы (164). 5. Почти треугольные матрицы (165). 6. Обратные итерации (166).
    156
    § 2. Эрмитовы матрицы
    1. Метод отражения (170). 2. Прямой метод вращении (175). 3. Итерационный метод вращении (177).
    170
    § 3. Неэрмитовы матрицы
    1. Метод элементарных преобразований
    (181). 2. Итерационные методы (186). 3.
    Некоторые частные случаи (187).
    181
    § 4. Частичная проблема собственных значений
    1. Особенности проблемы (189). 2. Метод линеаризации (189). 3. Степенной метод
    (190). 4. Обратные итерации со сдвигом
    (191).
    189
    Задачи
    193
    Глава VII
    Поиск минимума
    1. Постановка задачи (194). 2. Золотое сечение (196). 3. Метод парабол (198). 4.
    Стохастические задачи (200).
    194
    § 2. Минимум функции многих переменных
    1. Рельеф функции (201). 2. Спуск по координатам (203). 3. Наискорейший спуск
    (207). 4. Метод оврагов (209). 5.
    Сопряженные направления (210). 6.
    Случайный поиск (214).
    201
    § 3. Минимум в ограниченной области
    1. Формулировка задачи (215). 2. Метод штрафных функций (216). 3. Линейное программирование (217). 4. Симплекс-метод
    (220). 5. Регуляризация линейного программирования (221).
    215
    § 4. Минимизация функционала
    1. Задачи на минимум функционала (223). 2.
    Метод пробных функций (226). 3. Метод
    Ритца (230). 4. Сеточный метод (240).
    223
    Задачи
    236
    Глава VIII
    Обыкновенные дифференциальные уравнения
    § 1. Задача Коши
    1. Постановка задачи (237). 2. Методы
    237
    решения (238). 3. Метод Пикара (240). 4.
    Метод малого параметра (242). 5. Метод ломаных (243). 6. Метод Рунге—Кутта
    (246). 7. Метод Адамса (250). 8. Неявные схемы (252). 9. Специальные методы (353).
    10. Особые точки (257). 11. Сгущение сетки
    (258).
    § 2. Краевые задачи
    1. Постановки задач (261). 2. Метод стрельбы (262). 3. Уравнения высокого порядка (266). 4. Разностный метод;
    линейные задачи (268). 5. Разностный метод; нелинейные задачи (271). 6. Метод
    Галеркина (276). 7. Разрывные коэффициенты (279).
    261
    § 3. Задачи на собственные значения
    1. Постановка задач (280). 2. Метод стрельбы (281). 3. Фазовый метод (282). 4.
    Разностный метод (284). 5. Метод дополненного вектора (286). 6. Метод
    Галеркина (288).
    280
    Задачи
    289
    Г л а в а IX
    Уравнения в частных производных
    1. О постановках задач (290). 2. Точные методы решения (292). 3. Автомодельность и подобие (294); 4. Численные методы (296).
    290
    § 2. Аппроксимация
    1. Сетка и шаблон (299). 2. Явные и неявные схемы (301). 3. Невязка (302). 4; Методы составления схем (303). 5. Аппроксимация и ее порядок (307).
    299
    § 3. Устойчивость
    1. Неустойчивость (311). 2. Основные понятия (312). 3. Принцип максимума (315).
    4. Метод разделения переменных (318). 5.
    Метод энергетических неравенств (322). 6.
    Операторные неравенства (323).
    311
    § 4. Сходимость
    1. Основная теорема (324). 2. Оценки точности (327). 3. Сравнение схем на тестах
    (331).
    324 333
    Глава Х
    Уравнение переноса
    1. Задачи и решения (334). 2. Схемы бегущего счета (336). 3. Геометрическая интерпретация устойчивости (341). 4.
    Многомерное уравнение (344). 5. Перенос с поглощением (346). 6. Монотонность схем
    (348). 7. Диссипативные схемы (351).
    334
    § 2. Квазилинейное уравнение
    1. Сильные и слабые разрывы (354). 2.
    Однородные схемы (357). 3. Псевдовязкость
    (359). 4. Ложная сходимость (362). 5.
    354

    Консервативные схемы (363).
    Г л а в а XI
    366
    Параболические уравнения
    § 1. Одномерные уравнения
    1. Постановки задач (368). 2. Семейство неявных схем (369). 3. Асимптотическая устойчивость неявной схемы (374). 4.
    Монотонность (376). 5. Явные схемы (378).
    6. Наилучшая схема (380). 7.
    Криволинейные координаты (384). 8.
    Квазилинейное уравнение (386).
    368
    § 2. Многомерное уравнение
    1. Экономичные схемы (389). 2. Продольно- поперечная схема (391). 3. Локально- одномерный метод (394). 4. Метод Монте-
    Карло (399).
    389
    Задачи
    399
    Глава XII
    Эллиптические уравнения
    § 1. Счет на установление
    1. Стационарные решения эволюционных задач (401). 2. Оптимальный шаг (404). 3.
    Чебышевский набор шагов (409).
    401
    § 2. Вариационные и вариационно- разностные методы
    1. Метод Ритца (413). 2. Стационарные разностные схемы (414). 3. Прямые методы решения (415). 4. Итерационные методы
    (420).
    413
    Задачи
    423
    Глава XIII
    Гиперболические уравнения
    § 1. Волновое уравнение
    1. Схема «крест» (424). 2. Неявная схема
    424
    (427). 3. Двуслойная акустическая схема.
    (429). 4. Инварианты (434). 5. Явная многомерная схема (435). 6.
    Факторизованные схемы (436).
    § 2. Одномерные уравнения газодинамики
    1. Лагранжева форма записи (439). 2.
    Псевдовязкость (442). 3. Схема «крест»
    (444). 4. Неявная консервативная схема
    (447). 5. 0 других схемах (450).
    439
    Задачи
    451
    Глава XIV
    Интегральные уравнения
    § 1. Корректно поставленные задачи
    1. Постановки задач (452). 2. Разностный метод (455). 3. Метод последовательных приближений (458). 4. Замена ядра вырожденным (460). 5. Метод Галеркина
    (461).
    452
    § 2. Некорректные задачи
    1. Регуляризация (462). 2. Вариационный метод регуляризации (465). 3. Уравнение
    Эйлера (469). 4. Некоторые приложения
    (473). 5. Разностные схемы (476).
    462
    Задачи
    478
    Г л а в а XV
    Статистическая обработка эксперимента
    1. Ошибки эксперимента (480). 2. Величина и доверительный интервал (482). 3.
    Сравнение величин (490). 4. Нахождение стохастической зависимости (494).
    Задачи
    500
    Приложение Ортогональные многочлены
    501
    Литература
    505
    Предметный указатель
    509
    ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    Автомодельные решения 294
    Адамса метод 250
    Анализ регрессии 495, 496
    Анизотропная теплопроводность 394, 395
    Аппроксимационная вязкость 351
    Аппроксимация 308
    — абсолютная 310
    — безусловная 310
    — дробно-линейная 63
    — краевых условий 385, 393, 427
    — локальная 309
    — условная 310
    Асимметрия 487
    Бегущая температурная волна 295
    Бегущий счет 337, 344, 379
    Бесселя формулы 62
    Большие задачи 388
    Включение точки 388
    Вольтерра уравнение второго рода 454
    — первого рода 462
    Выбор веса 60, 486, 497
    Выравнивающая замена переменных 42
    Вырожденное ядро 460
    Вычисление корней многочлена 147, 148
    — кратных интегралов методом Монте-Карло
    121
    — — — — последовательного интегрирования
    111
    — — — — ячеек 108
    — несобственных интегралов 105
    — обратной матрицы 131
    — определителя 130
    Галеркина метод 276, 288, 461
    Гарвика прием 146
    Геометрическая интерпретация устойчивости
    341, 379

    Гивенса метод вращении 175
    Гильбертово пространство 20
    Двухкруговые итерации 449
    Дервюдье метод 189
    Дирихле задача 401
    Дисбаланс 365
    Дисперсионный анализ 495
    Диссипативные схемы 353
    Дифференцирование быстропеременных функций 80
    — интерполяционного многочлена Ньютона
    70
    — — — —, погрешность 71
    — на квазиравномерных сетках 80
    — на равномерной сетке 73
    Дихотомия 139, 263
    Доверительная вероятность 483
    Доверительный интервал 483
    Допустимое решение 356
    Жорданов набор шагов 411
    Жорданова подматрица 157
    — форма матрицы 157
    Замораживание коэффициентов 320
    Зейделя метод 155
    Инварианты акустические 434
    Интегрирование осциллирующих функций 103
    — разрывных функций 100
    Интегро-интерполяционный метод 304
    Интерполяционный многочлен Ньютона 30
    — — —, погрешность 32
    — — —, —, апостериорная оценка 33
    — — Эрмита 36
    — — —, погрешность 37
    Интерполяция квазилинейная 43
    — лагранжева 28
    — линейная 28
    — многомерная 47
    — — на произвольной сетке 50
    — — последовательная 49
    — — треугольная 49
    Интерполяция монотонная 47
    — нелинейная 41
    — обратная 35
    — сплайнами 44
    —, сходимость 39
    — эрмитова 36
    Квадратурные формулы, априорные оценки точности 99
    — —, веса 86
    — — Гаусса — Кристоффеля 94
    — — Маркова 97
    — — нелинейные 100
    — —, погрешность 86
    — — Симпсона 88
    — — средних 89
    — —, сходимость 98
    — — трапеций 86
    — — —, погрешность 87
    — —, узлы 86
    — — Эйлера — Маклорена 91
    Комплексная организация расчета 274, 287, 409
    Конечные разности 31
    Консервативные схемы 365. 447
    Корректность 24
    Корреляционный анализ 497
    Коши задача 238, 291
    — — плохо обусловленная 240
    Коэффициент парной корреляции 497
    — перекоса матрицы 161
    Коэффициентная устойчивость 384
    Краевые задачи 261, 291
    — — нестационарные 291
    Критерии установления 408
    Куранта условие 338, 436
    Лагерра многочлены 503
    Лежандра многочлены 501
    Линеаризация разностной схемы 321
    Линейное программирование 217
    Локально-одномерные схемы 396
    Матриц виды 132, 158
    — нормы 21
    Матрица вращения 175
    — отражения 170
    — сдвинутая 191
    Метод баланса 304, 363, 380
    — баллистический 262
    — вращений итерационный 177
    — — —, выбор оптимального элемента 179
    — — прямой 175
    — выбранных точек 63
    — выравнивания 42
    — декомпозиции 419
    Метод дополненного вектора 286
    — золотого сечения 196
    — исключения Гаусса, выбор главного элемента
    130
    — — —, обратный ход 129
    — — —, прямой ход 129
    — итерированного веса 64, 68
    — касательных 143
    — квадратного корня 135
    — квадрирования 148
    — линеаризации 143, 152, 263, 274
    — ломаных 243
    — малого параметра 242
    — моментов 461
    — наименьших квадратов 59, 224
    — — —, выбор весов 60
    — — —, оптимальное число коэффициентов 60
    — неопределенных коэффициентов 305

    — оврагов 209
    — отражений 170
    — парабол 146, 198
    — последовательных приближений 141,
    150, 272, 458 — — —, стохастические задачи
    142
    — простых итераций 141, 150
    — прямых 298
    — разностной аппроксимации 303
    — секущих 145, 264
    — сопряженных направлений 210
    — стрельбы 262, 266, 281
    — —, линейные задачи 264, 267
    — уменьшения невязки 307
    — фиктивных точек 306
    — штрафных функций 216
    Минимизация функционала по аргументу 223
    Многочлены обобщенные 28
    — ортогональные 501
    — — на системе точек 503
    Модуль непрерывности 19
    Монотонность схем 376, 384
    Наилучшая схема 381
    Наилучшее приближение 51
    — — равномерное 66
    — — среднеквадратичное 53
    Наискорейший спуск 207
    — —, сходимость 208
    Направление 299
    Невязка 302
    Независимые измерения 491
    Непрерывный аналог метода Ньютона
    288
    — функционал 227
    Неявные схемы 252, 301
    Нормальное распределение 483, 487
    Нормальное решение 222, 476
    Нормы 19
    — векторов 21
    — матриц 21
    — — подчиненные 22
    — — согласованные 22
    — негативные 322
    — энергетические 308
    Ньютона интерполяционный многочлен 30
    — метод 143, 152, 263, 274
    Обратные итерации 166
    — — с переменным сдвигом 192
    — — со сдвигом 191
    Овраг 203
    — разрешимый 203
    Однородные схемы 358
    Операторов виды 323
    —— свойства 323
    Оптимальное управление 226
    Особые точки дифференциальных уравнений
    257
    Оценки погрешности апостериорные 33, 330
    — — априорные 33, 328
    Ошибки грубые 481, 489
    — систематические 481
    — случайные 481
    Первое дифференциальное приближение 352
    Пикара метод 240
    Плохая обусловленность 25, 240
    — — линейных алгебраических систем 127, 130,
    137, 476
    Подобие 296
    Погрешность метода 23
    — неустранимая 22
    — округления 23
    Показатель симметрии 384, 440
    Полностью консервативные схемы 366, 450
    Попеременно-треугольная схема 421
    Порядок точности 325, 327
    — — не целый 93, 340
    Последовательность точек ЛПt 121
    — функций минимизирующая 227
    Потенциал скоростей 429
    Предиктор-корректор 247
    Преобладание диагонального элемента 134, 154
    Преобразование подобия матриц 158
    Признак равномерной устойчивости 314, 316,
    319
    Принцип максимума 315
    Прогонка 132
    Прогонка дифференциальная 266
    Продольно-поперечная схема 391
    Пространство С 19
    Псевдовязкость 359
    — квадратичная 361, 443
    — линейная 362, 442
    Псевдослучайные числа 115
    Разделенные разности 29
    — — с кратными узлами 37
    Разрывные коэффициенты 279, 380
    Разыгрывание случайной величины 117
    — — — многомерной 122
    — — — равномерно распределенной 115
    Регуляризация дифференцирования по
    Тихонову 474
    — — по шагу 83
    — — сглаживанием 83
    — линейного программирования 221
    — суммирования ряда по Тихонову 58, 475
    — — — по числу членов 57
    Регуляризирующий оператор 464
    Рельеф функции 201
    Решение уравнения обратной интерполяцией 35
    Ритца метод 230, 413

    Рунге — Кутта метод 246
    — — —, оценка точности 249
    Рунге метод 75, 259, 332
    — — рекуррентный 77, 331
    Рунге — Ромберга метод 76
    Сглаживание функции 60, 62, 474
    Сетки квазиравномерные 78
    — специальные 279, 383
    Сильный разрыв 357
    Симплекс-метод 220
    Слабый разрыв 355
    Слой 299
    Случайная величина 114
    — —, плотность распределения 114
    — —, равномерно распределенная 114
    — —, ——, разыгрывание 115
    — —, разыгрывание 117
    Собственные значения 156, 280
    Согласованные измерения 492
    Сплайн 46
    — многомерный 235
    Способ параллельных касательных 211
    Спуск по координатам 203
    Стандарт 484
    — выборки 485
    — —, несмещенная оценка 484
    Степенной метод 190
    Стохастическая зависимость 495
    Стохастическая задача нахождения минимума
    194
    Стьюдента коэффициенты 485
    — критерий 485
    Субтабулирование 34
    Схема двуслойная 313
    — —, каноническая форма 318
    — «крест» 425, 435, 444
    — ломаных 243
    — с весами 370
    —с выделением особенностей 358, 430
    — с полусуммой 371
    Сходимость 325
    — векторов по направлению 21
    — квадратичная 145
    — кубическая 145
    — линейная 145
    — ложная 362
    — равномерная 19
    — среднеквадратичная 20
    Счет на установление 190, 403
    — — —, критерий установления 408
    — — —, оптимальный шаг 404
    Тихоновский стабилизатор 405
    Точки повышенной точности численного дифференцирования 72
    Треугольный оператор 421
    Удаление найденных корней 140
    Узлы сетки нерегулярные 300
    — — регулярные 300
    Уменьшение дисперсии метода Монте-Карло
    119
    Устойчивость 24, 312
    — асимптотическая 314, 374
    — безусловная 313
    — по начальным данным 313
    — — — — равномерная 313
    — слабая 25, 314
    — собственных значений и векторов матриц 159
    — условная 313
    Фазовый метод 282
    Факторизованные схемы 437
    Филона формулы 103
    Фишера коэффициенты 494
    — критерий 493
    Фредгольма уравнение второго рода 453
    — — первого рода 462
    Фурье преобразование быстрое 416
    — — дискретное 62
    Характеристический многочлен 156
    Хаусхолдера метод отражений 170
    Центральные моменты распределения 487
    Циклическая прогонка 434
    Чебышева критерий 486
    — многочлены 503
    Чебышевская система функций 28
    Чебышевский набор шагов 409
    — — — упорядоченный 412
    Чисто неявная схема 371
    Шаблон 297, 300
    Эйлера метод 243
    — уравнение 469
    Эйткена экстраполяционный процесс 92
    Экономичные схемы 391
    Экстраполяция 33
    — многомерная 48
    Эксцесс 487
    Эрмита многочлены интерполяционные 36
    — — ортогональные 503
    Явно-неявная схема 342
    Явные схемы 301
    Якоби метод вращении 177
    — многочлены ортогональные 501
    ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
    Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многих
    институтов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы—детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.
    В основе вычислительного эксперимента лежит решение уравнений математической модели численными методами. Изложению численных методов посвящено немало книг. Однако большинство этих книг ориентировано на студентов и научных работников математического профиля. Поэтому в настоящее время ощущается потребность в книге, рассчитанной на широкий круг читателей различных специальностей и сочетающей достаточную полноту изложения с разумной степенью строгости при умеренном объеме.
    Предлагаемая книга отвечает этим требованиям. Она достаточно полно освещает тот круг вопросов,
    знание которого наиболее часто требуется в практике вычислений, и содержит ряд разделов, которые редко включают в учебные пособия. Умеренный объем достигнут за счет тщательного отбора материала и включения в книгу только наиболее эффективных и часто используемых на практике методов.
    Материал изложен четко и сжато, при этом большое внимание уделено рекомендациям по практическому применению алгоритмов; изложение пояснено рядом примеров. Для обоснования алгоритмов использован несложный математический аппарат, знакомый студентам физических и инженерных специальностей.
    Книга рассчитана на читателя, который занимается не столько разработкой численных методов,
    сколько их применением к прикладным проблемам. Однако в процессе работы над книгой читатель знакомится с основными идеями построения вычислительных алгоритмов и с их обоснованием и приобретает знания, достаточные для разработки новых алгоритмов. Эта книга является по существу введением в численные методы. Овладев ею, читатель затем может углубить свои знания, обратившись к руководствам по теории разностных схем и по методам численного решения отдельных классов задач.
    Книга написана специалистом по теоретической и математической физике. Она возникла в результате работы автора над рядом актуальных проблем физики в Институте прикладной математики
    АН СССР и преподавания на физическом факультете МГУ.
    Несомненно, книга окажется полезной широкому кругу читателей — студентам, аспирантам,
    научным сотрудникам и инженерам математических, физических и технических специальностей.
    А. А. Самарский
    ПРЕДИСЛОВИЕ
    Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных—таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются (например, решение уравнений бесстолкновительной плазмы).
    Поэтому полная программа обучения численным методам должна состоять из ряда этапов. Во- первых, это освоение логарифмической линейки, клавишных вычислительных машин и программирования на ЭВМ. Во-вторых, основы численных методов, содержащие изложение классических элементарных задач (включая основные сведения о разностных схемах). В-третьих, курс теории разностных схем. И в-четвертых — ряд специальных курсов, которые сейчас нередко называют методами вычислительной физики: численное решение задач газодинамики, аэродинамики, переноса излучения, квантовой физики, квантовой химии и т. д.
    Эта книга является введением в численные методы. Она начинается с простейших задач интерполирования функций и кончается недавно возникшим разделом вычислительной математики —
    методами решения некорректно поставленных задач. Книга написана на основе годового курса лекций,
    читавшихся автором сначала инженерам-конструкторам, а после переработки—студентам физического факультета МГУ. Для каждой задачи существует множество методов решения. Например, хорошо обусловленную систему линейных уравнений можно решать методами Гаусса, Жордана, оптимального исключения, окаймления, отражений, ортогонализации и рядом других. Интерполяционный многочлен записывают в формах Лагранжа, Ньютона, Грегори—Ньютона, Бесселя, Стирлинга, Гаусса и Лапласа—
    Эверетта. Подобные методы обычно являются вариациями одного-двух основных методов, и если даже
    в каких-то частных случаях имеют преимущества, то незначительные. Кроме того, многие методы создавались до появления ЭВМ, и ряд из них в качестве существенного элемента включает интуицию вычислителя. Появление ЭВМ потребовало переоценки старых методов, что до конца еще не сделано, и до сих пор по традиции большое количество неэффективных методов кочует из учебника в учебник.
    Отчасти это объясняется тем, что эффективность многих методов сильно зависит от мелких деталей алгоритма, почти не поддающихся теоретическому анализу; поэтому окончательный отбор лучших методов можно сделать только на основании большого опыта практических расчетов.
    В этой книге сделана попытка такого отбора, опирающаяся на многолетний опыт решения большого числа разнообразных задач математической физики. Для большинства рассмотренных в книге задач изложены только наиболее эффективные методы с широкой областью применимости. Несколько методов для одной и той же задачи даны в том случае, если они имеют существенно разные области применимости, или если для данной задачи еще не разработано достаточно удовлетворительных методов.
    Часто приходится слышать, что наступила эпоха ЭВМ, а «ручные» расчеты являются архаизмом. На самом деле это далеко не так. Прежде чем поручать ЭВМ большую задачу, надо сделать много оценочных расчетов и на их основе понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи.
    Конечно, даже в мелких расчетах ЭВМ с хорошим математическим обеспечением и набором периферийных устройств (телетайп, дисплей, графико-построитель) оказывает большую пользу. Однако логарифмическая линейка и клавишные машины еще долго будут необходимы. Поэтому большинство методов, изложенных здесь, в равной мере пригодны для ЭВМ и «ручных» расчетов.
    Основное внимание в книге уделено выработке практических навыков у читателя. Поэтому в первую очередь изложены алгоритмы, даны рекомендации по их применению и отмечены «маленькие хитрости»—те незначительные на первый взгляд практические приемы, которые сильно повышают эффективность алгоритма. Теоретическое обоснование методов приведено лишь в той мере, в какой оно необходимо для лучшего усвоения и практического применения.
    В книгу включен ряд сведений, не относящихся к необходимому минимуму, но полезных читателю для лучшего понимания тонких деталей вычислительных процессов. Чтобы не увеличивать объем книги и избежать сложных выкладок, эти сведения приведены, как правило, без доказательств, но со ссылками на дополнительную литературу. Некоторые сведения даны в форме задач в конце каждой главы.
    Предполагается, что читатели знакомы с основами высшей математики, включая краткие сведения об уравнениях в частных производных. Необходимые дополнительные сведения, которые не содержатся в обязательных курсах университетов и втузов, сообщаются здесь в соответствующих разделах.
    Книга разделена на главы; параграфы и пункты. В начале каждой главы кратко изложено ее содержание. Нумерация таблиц и рисунков—единая по всей книге, а нумерация формул—
    самостоятельная в каждой главе. Если ссылка не выходит за пределы данной главы, то указывается только номер формулы; если выходит—то номер главы и номер формулы. В конце книги дан список литературы. Приведенные в нем учебники и монографии рекомендуются для углубленного изучения отдельных разделов. Журнальные статьи даны для указания на оригинальные работы, их список не претендует на полноту; более полная библиография имеется в рекомендованных учебниках.
    Общий подход к теории и практике вычислений, определивший стиль этой книги, сложился у меня под влиянием А. А. Самарского и В. Я. Гольдина за много лет совместной работы. Ряд актуальных тем был включен по инициативе, А. Г. Свешникова и В. Б. Гласко. Много ценных замечаний сделали А. В.
    Гулин, Б. Л. Рождественский, И. М. Соболь, И. В. Фрязинов, Е. В. Шикин и сотрудники кафедры прикладной математической физики МИФИ. В оформлении рукописи мне помогли Л. В. Кузьмина и В.
    А. Кра-сноярова. Я пользуюсь случаем искренне поблагодарить всех названных лиц, и в особенности
    Александра Андреевича Самарского.
    Н. Н. Калиткин

    написать администратору сайта