Главная страница
Навигация по странице:

  • 32. Функции Неймана и Ханкеля. Функ. соотношения цил. Функ.

  • Шпоры по уравнениям математической физики. 2 решение неоднородного квазилинейного уравнения luf0


    Скачать 0.71 Mb.
    Название2 решение неоднородного квазилинейного уравнения luf0
    АнкорШпоры по уравнениям математической физики.docx
    Дата04.05.2017
    Размер0.71 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаШпоры по уравнениям математической физики.docx
    ТипРешение
    #7022
    КатегорияМатематика

    © Sirleh, Nikan, }|{enek, maximkins Ф6-07
    1. Квазилинейное уравнение первого порядка. Характеристические направления и характеристики квазилинейного уравнения.




    Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно U, Ux, Ut.



    Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно Ux и Ut.



    Рассмотрим оператор LU = aUx+bUt



    Опр. Направлениеlназывается характерестическим направлением оператора L в фиксированной точке (x,t) на данной ф-ии U(x,t)

    Опр. Гладкая кривая Г, в каждой точке которой lявляется касательной называется характеристикой оператора L на данной ф-ии U(x,t)

    Опр. Если U(x,t) является решением уравнения LU+f=0, то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)

    Диф уравнение характеристик:

    Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.

    2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)

    1. 2. Метод характерсистик решения задачи Коши для линейного уравнения 1 порядка




    Строим решение методом характеристик

    1)

    2)Проводим характеристику через интересующую нас точку (x,t), x0(x,t) – точка пересечения характеристики с осью x.

    3)

    1. 3. Метод характеристик решения задачи Коши для квазилинейного уравнения 1 порядка. Понятие градиентной катастрофы














    1. Явление образования разрыва в решении краевых задач для квазилинейных уравнений, обусловленное пересечением характеристик называется градиентной катастрофой.



    1. 4.Приведение квазилинейных дифференциальных уравнений 2 порядка к каноническому виду. Характеристики гиперболических уравнений.






    1)Δ=a122-a11a22>0 –уравнение гиперболического типа

    Uξη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0

    Δ<0 – уравнение эллиптического типа

    Uξξ+Uηη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0

    Δ=0 – уравнение парболического типа

    Uξξ +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 или Uηη +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0

    Пусть Δ>0

















    Потребуем, чтобы α1122=0



    Решаем квадратное уравнение относительно φx ψx.



    5.Метод характеристик(распространяющихся волн) решения одномерного волнового уравнения














    6.Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера.
















    1. 7.Решение 1 и 2 краевых задач для волнового уравнения на полупрямой.


    Лемма. Пусть U(x,t) –решение задачи Коши на прямой.



    И пусть F(x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные(чётные), тогда U(0,t)=0 (Ux(0,t)=0)

    Док. По формуле Даламбера:





    Если, (x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные



    Следствие: Краевая задача на некотором промежутке с однородным граничным условием 1 и 2 рода можно свести к з. Коши на прямой, продолжив все неоднородности в уравнениях нечётно или чётно относительно концов промежутка.

    8. Отражение волн на границе полупрямой.




    U(x,t)=F(x-at)+G(x+at) – общее решение однородного волнового уравнения

    1). Подставим начальные условия







    2).Из граничного условия












    Характеристики – нелинейная сетка новых координат.

    (4)







    Диф уравнение характеристик:

    Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.

    2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 удовлетворяет на характеристике условию dU/-f = μdτ

    Док. 1)



    2)

    (1)












    9. Определение, непрерывность и аналитичность Г-функции. Аналитическое продолжение Г-функции с помощью соотношения Г(z+1)=zГ(z). График Г- функции.


    Г-функцией или Эйлеровским интегралом 2 рода называют след ф-цию:



    Св-во1: Г определена и аналитична в полуплоскости ReZ>0

    Св-во2:Г(z+1)=zГ(z)

    Доказывается через интегрирование по частям по частям.

    Следствие1: Г(z)= ,n>N

    Следствие2:Г(n+1)=n! Г(1)=n!

    Св-во3:Г можно аналитически продолжить на с\(о,-1,-2,…).Точки 0,-1,-2..явл простыми полюсами и =res

    =

    10. Определение В-функции. Связь Г и В-функций.


    В-функцией иил Эйлеровским интегралом 1 рода наз след ф-цию от двух переменных:



    Cв-во1: определена и аналитична на обл. Rex>0,Rey>0

    Св-во2: Связь Г и В ф-ций: В(x,y)=B(y,x)=

    11. Функциональные свойства В и Г-функций.


    1)B(x,y)=B(y,x) = –формула связи

    2)B(z,1-z)=Г(z)Г(1-z)=

    3)

    Док-во (3): B(z,z)= симметрии =2=2

    Следствие1: Г(n+1/2)=

    Следствие2:

    12. Уравнение гипергеометрического типа. Теорема о производных функций гипергеометрического типа.


    Общий вид УГТ:









    Опр. Нетривиальное решение УГТ наз. Функция гиперболического типа ФГТ

    Теорема.1)ФГТ имеет непрер. Производную всюду,за исключением может быть нулей полинома

    2)Производные сами являются ФГТ и удовл.уравнению

    ,

    13. Самосопряжённый вид уравнения гипергеометрического типа.






    Потребуем:





    )-весовая функция







    (σρn)'=τnρn



    14. Полиномиальные решения уравнения гипергеометрического типа. Формула Родрига.


    Теорема1.Для того чтобы частным решением УГТ был полином степени n, необходимо:



    Док-во:Предположим , что

    )




    ч.т.д.

    Теорема2.Пусть (

    Тогда частным решением УГТ является полином степени n.



    15. Достаточное условие ортогональности полиномов гипергеометрического типа. Классические ортогональные полиномы.


    Пусть



    Лемма.(Дост. Усл. Ортог-ти ПГТ)

    Пусть

    Тогда

    16. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Якоби, Лежандра и Чебышева.


    Классификация Коп

    =0

    полиномы Эрмита

    полиномы Чебышева-Лагерра

    (

    x=az+b Полиномы Якоби
    Уравнение для полиномов





    y=0

    Весовая функция









    ; ,



    Формула Родрига для полиномов Якоби



    Принято

    17. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева- Лагерра.


    Классификация Коп

    =0

    полиномы Эрмита

    полиномы Чебышева-Лагерра

    (

    x=az+b

    Полиномы Якоби



    Уравнение для полиномов










    Замена





    Весовая функция



    C=0,

    ,

    Формула Родрига




















    Ортогональность

    =0-дост.усл.орт-ти

    =0,

    -выполнено, если


    -ортог на(0,) с весом

    Частный случай

    -полином Лагерра()



    (17)

    Ортогональность

    =0

    =0,

    -выполнено, если

    -ортог на(-1,1) с весом



    Частные случаи



    = пол .Лежандра







    -




    (16)






    18.Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Эрмита


    Классификация Коп

    =0

    полиномы Эрмита

    полиномы Чебышева-Лагерра

    (

    x=az+b

    Полиномы Якоби
    Полиномы Эрмита )

    Уравнение для полиномов









    y=0 / *



    Замена ,

    y=0

    ,

    Весовая функция

    , C=0
    Формула Родрига





    Принято

    19. Теорема о нулях классических ортогональных полиномов. Свойства чётности полиномов Якоби и полиномов Эрмита


    Рассмотрим систему КОП ,орт-к по(a,b)

    с весом ()

    Св-во1.





    Док:1) m=0, ,

    2) Предположим, что





    ; ч.т.д

    Св-во 2





    Док-во:






    Св-во 3

    Все нули КОП простые и лежат внутри интервала ортогональности (a,b)

    20.Интегральное представление классических ортогональных полиномов. Производящая функция для системы классических ортогональных полиномов


    Интегральные представление КОП

    , где простой контур С ориентирован протии часовой ,охватывает точку z и лежит в односвязной обл-ти

    аналитическая ф-ия .

    Док-во:

    - ф-ла Родрига

    -обобщ.ф-ла Коши для аналитична в односвязной обл D

    -аналитична в D

    - аналитична в D

    ч.т.д

    Опр.

    Φ(z,t) наз. производящей ф-й для сист. КОП

    , если

    в круге

    Св-во 6
    Φ, где С-тот же что и в св-ве 5

    Док-во:

    по св-ву 5)

    По опр-ю:

    непер. на С→огр. на С→

    M<1

    -сход равном в круге

    ч.т.д

    21.Производящая функция для полиномов Лежандра.


    Лемма

    Для полин Леж

    при

    Док-во

    Для полином Леж

    Φ











    Φ

    По опр-ию Φ==



    Замена s=-2t





    При





    22. Рекуррентные формулы для классических ортогональных полиномов. Вывод рекуррентных формул для полиномов Лежандра


    3 последних КОП связаны след. рекурент соотн-м:



    где ,

    Док-во



    по св-ву 1

    ;



    −ву 2









    /









    ч.т.д.

    23. Полнота системы классических ортогональных полиномов. Теорема о разложимости функции в ряд Фурье по системе КОП. Квадрат нормы полиномов Лежандра.


    Свойство: Пусть – сходится. Тогда

    Теорема разложимости: Пусть f(z) и f’(z) – кус. Непрерывны на любом

    Лемма: Для полиномов Лежандра

    Доказательство:









    24 Определение сферических функций. Определение присоединённых ф-ий Лежандра.




    Сферическими функциями называются собственные функции оператора Лапласса, удовлетворяющие условиям непрверывности(2) и периодичности(3)


    25. Ортогональность и квадрат нормы присоединённых функций Лежандра.


    Решение ур-ия Лежандра:



    не огр на отр.[-1,1]


    решение нашего ур-ия



    K=0,1,2… n=k,k+1,…

    Теорема.Присоедин. ф-ции Лежандра орт-ны на (-1,1) при фиксир к,т.е.:










    Док-во:





    Требуется док-ть ,что m=n . Предположим обратное: m<n

    Рассмотрим , если m>0



    По св-ву 2

    не меняет знак на (a,b)

    противоречие m=n



    Св-во 4 (Св-во четности)

    Полиномы Якоби при α=βи полиномы Эрмита являются честными, если n=2k

    нечетными если n=2k+1

    Док-во: 1)





    2)




    (19)

    Ортогональность
    =0

    =0,

    -выполнено, если
    ортог на(-,+) с весом

    (18)












    26. Фундаментальные сферические функции и их свойства. Общее решение уравнения Лапласа в виде ряда Фурье по системе фундаментальных сферических функций. Шаровые функции.


    Сферич.ф-ции след вида:



    Наз.ФСФ порядка n

    Св-во1:ФСФ явл собств.ф-циями оператора : отвечающие с.з.

    Св-во2:ФСФ орт-ны на един.сфере,т.е





    Св-во3:ФСФ образуют ортогональный базис в CL2(D,)

    D={













    27. Уравнение Бесселя. Поиск решения уравнения Бесселя в виде обобщённого степенного ряда. Функция Бесселя.




    Опр. Всевозможные решения уравнения Бесселя называются цилиндрическими функциями.

    Ищем решение ур. Бесселя в виде обобщённого степенного ряда:



















    Билет 28. Сходимость степенного ряда для ф-ии Бесселя. Линейная зависимость функций Бесселя.


    – ур-ие Бесселя

    Ищем решения ввиде степенного ряда:





















    29. Функция Бесселя порядка . Асимптотическое представление целых ф-ии при .






    Аналогично при -:

    – ур-ие Бесселя – разделим на









    Замена

    Замечание: При или получаем


    32. Функции Неймана и Ханкеля. Функ. соотношения цил. Функ.



    Найдём цилиндрическую функцию, которая имеет другое асимптотическое представление



    При целом ν:

    - общее решение уравнения Бесселя







    1. – функция Неймана

    При целом ,

    –л.н.з., т.к. имеют л.н.з. асимптотические представления при

    1. – функции Ханкеля 1-ого (2-ого) рода

    При , =

    31. Асимптотические представления цилиндрических функций в окрестности точки нуль. Графики функций Бесселя и Неймана.




    При ,



    , ,

    По формуле дополнения:

    , ,

    Если , то =



    При ,








    32. Модифицированные цилиндрические функции (цил. ф-ии мнимого аргумента). Асимптотические представления и графики.


    – ур-ие Бесселя

    – общее решение уравнения Бесселя

    Сделаем замену , тогда

    модифированное уравнение Бесселя



    – функция Бесселя мнимого аргумента

    – Функция Макдональда

    – монотонно возрастает на (0;+∞) при



    При ,











    Теорема. Любое вещественное решение уравнения Бесселя при имеет асимптотическое представление вида:



    Где

    Лемма. :











    Теорема. Для любого R>0 ст.ряд сходится равномерно по z и в замкнутой области

    Док-во:



    Пусть =C

    =C



    Теорема. Ф-ии Бесселя при нецелом :









    R=













    (26)







    c:\users\ion\desktop\2.jpgc:\users\ion\desktop\1.jpg



    написать администратору сайта