Главная страница
Навигация по странице:

  • 2.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении R

  • 2.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении R

  • Метод контурных токов.

  • 2.7. Электрические цепи с индуктивными связями

  • ману электротех. 1 Ток, напряжение, мощность


    Скачать 5.71 Mb.
    Название1 Ток, напряжение, мощность
    Анкорману электротех.docx
    Дата24.03.2018
    Размер5.71 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файламану электротех.docx
    ТипДокументы
    #17155
    страница6 из 15
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

    Емкостные цепи.Для емкостного элемента согласно уравнению (1.12) имеем:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image156.jpg

    Из приведенных уравнений следует, что ток в емкости опережает приложенное напряжение на угол π/2 (рис. 3.6, в),причем знак «—>> свидетельствует об отставании напряжения иот тока i. Средняя за период мощность в емкостной цепи также равна нулю.

    При последовательном и параллельном соединениях емкостных элементов ток в цепи определяется согласно (3.26), где С находится из (1.24) для последовательного и (1.28) для параллельного соединений.

     

    2.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединенииR,L,С-элементов

     

    Допустим, что в цепи, содержащей последовательно соединенные элементы R,L, С(рис. 3.7), протекает ток

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image157.jpg

    На рис. 3.8 изображена векторная диаграмма напряжений, описываемых уравнений (3.30).

    Напряжение UMRна резистивном сопротивлении Rназывается активной составляющей приложенного напряженияи обозначается http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image158.gif разность напряжений http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image159.jpgназывается реактивной составляющей.Согласно этому определению и формулам (3.31) имеем:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image160.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image161.jpg

    — полным сопротивлением цепи.

    Треугольник на векторной диаграмме, образованный напряжениями Uma,Ump,Umназывают треугольником напряжений.Если UmL>Umc(XL>Xc),то цепь носит индуктивный характер (приложенное напряжение опережает ток) и треугольник напряжений имеет вид, изображенный на рис. 3.9, а;если UmL<Umc(XL< Хс),то цепь носит емкостный характер (приложенное напряжение отстает от тока) и треугольник напряжений принимает вид, изображенный на рис. 3.9, в.Треугольник со сторонами R,X,Zподобный треугольнику напряжений, называетсятреугольником сопротивлений(рис. 3.9, б, г).Из треугольников сопротивлений и напряжений следует:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image162.jpg

     

     

    Треугольники напряжений и сопротивлений позволяют упростить анализ электрической цепи.

    2.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном

     соединенииR,L,С-элементов

    Приложим к цепи, содержащей параллельно соединенные элементы R,L,С (рис. 3.10), напряжение

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image163.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image164.jpg

    На рис. 3.11 изображена векторная диаграмма токов, описываемых уравнением (3.39).

    Ток в резистивном сопротивлении IтRназывают активной составляющейтока Iта, а разность тока Iтр = IтL— 1тс — реактивной составляющей тока.Для Iтaи Iтр справедливы соотношения

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image165.jpg

    — полной проводимостью цепи.

    По аналогии с треугольником напряжений и сопротивлений при параллельном соединении элементов можно ввести треугольники токов и проводимостей(рис. 3.12, а, б).Как следует из этих ри-

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image166.jpg

    сунков, при IтL>ImC(BL>BC)цепь носит индуктивный характер (общий ток отстает от приложенного напряжения) и при IтL<Imc(BL<BC) —емкостный характер (ток опережает приложенное напряжение). Из треугольников токов и проводимостей следует:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image167.jpg

    Сравнение треугольников токов и проводимостей с треугольниками напряжений и сопротивлений показывает их дуальный характер. Дуальны также и все соотношения, описывающие цепи при последовательном и параллельном соединении элементов, дуальны и сами цепи.

     

    2.6. Символический метод расчета разветвленных цепей

     

    Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении элементов в режиме гармонических колебаний обычно осуществляется символическим методом. Это объясняется тем, что классический метод расчета приводит к громоздким интегрально-дифференциальным уравнениям и требует большого объема тригонометрических преобразований. Символический методпозволяет тригонометрические операции над гармоническими колебаниями и геометрические операции над векторами свести к алгебраическим операциям над комплексными числами, что существенно упрощает расчет. При этом могут быть использованы все методы преобразований и анализа, изложенные в гл. 1, 2. Допустимость использования символического метода объясняется тем, что в линейных цепях в режиме гармонических воздействий в цепи устанавливаются гармонические колебания тон же частоты. Таким образом, неизвестными параметрами токов и напряжений будут лишь амплитуды и фазы, определяемые однозначно их комплексными амплитудами. Запишем основные законы электрических цепей в символической форме.

    Для резистивного элемента Rсвязь между комплексными амплитудами тока Iт и напряжения Uт можно определить согласно закону Ома (1.6) путем замены мгновенных значений токов iи напряжений иих комплексными амплитудами:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image168.jpg

    (3.45) отражает закон Ома для индуктивных элементов. Сравнение (3.45) с (1.9) показывает, что операция дифференцирования d/dtсоответствует в комплексной форме умножению на jω.

    Для емкостного элемента С на основании (1.12) можно записать:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image169.jpg

    т. е. операция интегрирования соответствует в комплексной форме делению на/со. Полученные уравнения (3.44) —(3.46) справедливы и для комплексных действующих значений токов и напряжений:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image170.jpg

    Аналогично можно получить уравнения законов Кирхгофа в комплексной форме. Так, для ЗТК (1.16) заменив мгновенные значения токов ikих комплексными амплитудами Imk,получим

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image171.jpg

    Полученные уравнения законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме лежат в основе символического метода расчета линейных цепей при гармонических воздействиях. Причем, как показывает анализ уравнений (3.24), (3.26). (3.45) и (3.46), при переходе к комплексной записи операции дифференцирования заменяются умножением на jω, операции интегрирования — делением на jω. В результате вместо системы интегрально-дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений, решение которой определяет амплитуды и начальные фазы искомых токов и напряжений.

    Применим символический метод к анализу гармонических колебаний в цепи при последовательном (см. § 3.4) и параллельном (см. § 3.5) соединениях элементов R, L,С.Для последовательного

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image172.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image173.jpg

    Комплексное сопротивление Z можно выразить в показательной или тригонометрической форме:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image174.jpg

    Таким образом, рассмотренное ранее полное сопротивление цепи (3.33) представляет собой модуль комплексного сопротивления:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image175.jpg

    а фазовый сдвиг φ — аргумент (arg) комплексного сопротивления:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image176.jpg

    Аналогичным образом можно получить уравнения токов и напряжений в комплексной форме для параллельного соединения элементов R,L, С(см. § 3.5). Так уравнение (3.39) в комплексной форме примет вид

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image177.jpg

    Следовательно, полная проводимость цепи Y равна модулю комплексной проводимости Y = | Y‌‌‌‌‌‌‌|, а фазовый сдвиг φ — аргументу комплексной проводимости φ= arg Y= arctg(B/G).

    При анализе различных электрических цепей часто возникает необходимость преобразования схемы последовательно соединенных элементов в эквивалентное параллельное соединение и наоборот (рис. 3.13). В основе подобных преобразований лежит принцип эквивалентности (см. § 1.5). Согласно этому принципу ток I и напряжение U12в исходной (рис. 3.13, а)и преобразованной (рис. 3.13, б) схемах должны остаться неизменными. Для первой

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image178.jpg

    Преобразование (3.56) и (3.57) можно положить в основу разложения тока в последовательном участке и напряжения в параллельном на активную и реактивную составляющие.

    Пример.Преобразовать последовательный RC-участок(рис 3.14, я) в эквивалентный параллельный (рис. 3.14, б). Определить активные и реактивные составляющие токов и напряжений на обоих участках.

    В соответствии с уравнением (3.57) получаем

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image179.jpg

    Символический метод особенно эффективен при анализе сложных разветвленных цепей. Причем поскольку все методы расчета подобных цепей (метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и др.) базируются на законах Ома и Кирхгофа, то эти методы могут использоваться и при комплексной форме с заменой соответствующих величин (токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей) их комплексными значениями.

    Пример.Проиллюстрируем это на примере расчета цепи, изображенной на рис. 3.15 различными методами в комплексной форме. Заменим элементы ветвей в исходной схеме их комплексными сопротивлениями, а источники напряжения и токи их комплексными значениями (рис. 3.16):

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image180.jpg

    Рассчитаем теперь эту цепь различными методами в символической форме, используя комплексы действующих значений токов и напряжений.

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image181.jpg

    1.   Метод наложения.  Сравнение схем,   изображенных  на рис.   3.16  и рис. 2.5. а показывает их одинаковую топологию. Таким образом, путем перехода от Rк Z, от Urк Urи от I к Iможно сразу получить соответствующие уравнения для токов I 1,I 2,I 3(см. § 2.3).

    2.  Метод контурных токов.В соответствии с § 2.4 составляем систему из двух уравнений для контуров I и II:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image182.jpg

     

    писать уравнения для мгновенных значений iи и.Так, если угловая частота задающих источников синусоидальных колебаний ur1и ur2 равна ω, то мгновенное   значение   тока   

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image183.jpg http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image184.gif

    Аналогичным образом осуществляется преобразование электрических цепей, содержащих комплексные сопротивления. Комплексные сопротивления, соединенные звездой преобразуются в треугольник путем замены в формулах (2.6)—(2.9) параметров Rи G на соответствующие комплексы Zи Y. Точно также осуществляется обратное преобразование треугольник-звезда.

    Например, с учетом уравнений (1.9) и (1.12) можно получить формулы преобразования «звезда—треугольник» индуктивных и емкостных элементов. Так, для емкостных элементов при преобразовании «треугольник—звезда» имеем:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image185.jpg

    Преобразование «треугольник—звезда» и обратно для индуктивных элементов осуществляется по формулам, аналогичным (2.6)-(2.8).

    Подобным же образом преобразуются матрично-топологические уравнения цепей в комплексную форму. Например, матричные уравнения (1.18), (1.20), (2.17) в комплексной форме принимают следующий вид:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image186.jpg

    где YBYy — матрицы комплексной проводимости ветвей и комплексной узловой проводимости.

    ZBZK — матрица комплексного сопротивления ветви и матрица комплексного контурного сопротивления.

    Uгв, JГB, Uв — матрицы-столбцы комплексных задающих напряжений и токов ветви и напряжений ветвей.

    2.7. Электрические цепи с индуктивными связями

        

    В предыдущих параграфах этой главы рассматривались цепи без учета явления взаимной индукции. В то же время, при протекании тока i1в катушке индуктивности с параметром L1в окружающем пространстве согласно закону электромагнитной индукции создается магнитный поток Ф11 (рис. 3.17, а).Если какая-либо часть этого потока Ф12 пронизывает витки другой катушки с L2,то в последней наводится ЭДС взаимной индукции, определяемая законом Максвелла —Фарадея:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image001.jpg

    где коэффициент М\2носит название взаимной индуктивностикатушек L1и L2.Единица измерения взаимной индуктивности — Мгенри (Гн).

    Знак «—» в уравнении (3.66) определяется согласно правилу Ленцанаправлением индукционного тока, который имеет такую ориентацию, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал тому изменению магнитного потока Ф12, которое этот ток вызывает. Напряжение взаимоиндукции на зажимах катушки индуктивности L2:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image002.jpg

    Если напряжение иприложено к катушке индуктивности Li,то под действием тока i2в катушке L1также будет наведена ЭДС взаимной индукции:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image003.jpg

    В соответствии с принципом взаимности (см. § 1.7) для линейных цепей М12= М21.

    Рассмотренная ниже индуктивная связь носит односторонний характер: ток i1 вызывает ЭДС взаимоиндукции ем2, или ток i2 — ЭДС ем1.В случае замыкания катушки L2на конечное сопротивление R(рис. 3.17, б) в последней под воздействием um2 потечет индукционный ток i2,который в свою очередь, вызовет в первой катушке L1ЭДС взаимоиндукции ем1(3.68). Таким образом, установится двухсторонняя индуктивная связь катушек L1и L2.При этом каждая из катушек L1и L2будет пронизываться двумя магнитными потоками: самоиндукции, вызванным собственным током, и взаимоиндукции, вызванным током другой катушки. Следовательно, в катушке L 1индуцируется ЭДС

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image004.jpg

    Взаимное направление потоков само- и взаимоиндукции зависит как от направления токов в катушках, так и от их взаимного расположения.

    Если катушки включаются таким образом, что потоки само- и взаимоиндукции складываются, то такое включение называется согласным.Если же потоки само- и взаимоиндукции вычитаются, то такое включение принято называть встречным.На рис. 3.17, б показан случай согласного включения.

    Степень связи между L\и Z-2 оценивается коэффициентом связи

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image005.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image006.jpg

    Значение kизменяется в пределах от 0 (отсутствие связи) до 1 (жесткаяили полная связь). Индуктивная связь существенным образом зависит от потоков рассеянияФ1s и Ф2s, поэтому степень связи иногда характеризуют коэффициентом рассеяния σ2 = 1 — k2.Для компактности и удобства изображения схем электрических цепей с взаимной индуктивностью вводят понятиеодноименных зажимов.Последними принято называть узлы, относительно которых одинаково ориентированные токи создают складывающиеся потоки само- и взаимоиндукции. На рис. 3.18 схематично изображены одноименные зажимы для случая согласного и встречного включений катушек L1и L2.Следовательно, для определения вида включения L1и L2на схеме достаточно определить, как ориентированы токи i1и i2относительно одноименных зажимов (на рис. 3.18 обозначены точкой): при одинаковой ориентации имеем согласное (рис. 3.18, а),а при разной — встречное включение (рис. 3.18, б),

    Учет взаимной индуктивности существенно влияет на результаты анализа электрических цепей. Рассмотрим последовательное и параллельное соединение индуктивно-связанных катушек с индуктивностями L1и L2и потерями R1и R2, находящихся под действием гармонического напряжения:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_2.files/image007.jpg
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
    написать администратору сайта