Главная страница
Навигация по странице:

  • 1.12. Преобразование резистивных электрических цепей

  • 1.13. Метод наложения

  • 1.14. Метод контурных токов

  • ману электротех. 1 Ток, напряжение, мощность


    Скачать 5.71 Mb.
    Название1 Ток, напряжение, мощность
    Анкорману электротех.docx
    Дата24.03.2018
    Размер5.71 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файламану электротех.docx
    ТипДокументы
    #17155
    страница4 из 15
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

    Пример.Рассчитать токн ветвей схемы резнстнвноп цепи, изображенной на рис. 2.1. апо методу уравнений Кирхгофа.

    Построим граф цепи (рис. 2.1, б) и выберем дерево (рис. 2.1, в). Дополним дерево хордами 2,5, 6(на рис. 2.1, в показано пунктиром). В результате образуется три независимых контура I,II, III(рис. 2.1, я). Составим уравнение по ЗТК и ЗНК.

    Схема имеет ny= 4 узла, пB=6 ветвей. Выберем узел 4в качестве базисного и составим nу = 3 уравнения по ЗТК:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image064.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image065.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image066.jpg

     

    Решая совместно системы уравнений (2.1) и (2.2), найдем искомые токи.

    При использовании законов Кирхгофа в качестве независимых переменных можно было взять напряжения ветвей (метод напряжения ветвей)или токи одних ветвей и напряжения других (гибридный метод).

    В случае, если в цепи имеется ветвь с источником тока, то неизвестным параметром в этой ветви является напряжение на зажимах источника, которое можно найти методом напряжения ветвей.

     

    1.12. Преобразование резистивных электрических цепей

     

    В случае, когда на цепь воздействует один источник постоянного напряжения или тока, наиболее эффективным является метод преобразования электрических цепей. Суть этого метода заключается в нахождении эквивалентного сопротивления цепи относительно зажимов (полюсов) источника.

     

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image067.jpg

    В § 1.5 были рассмотрены простейшие методы преобразования последовательного и параллельного соединенных пассивных элементов (см. формулы (1.22) —(1.24) и (1.27) —(1.29)). Однако на практике встречаются более сложные соединения элементов, которые нельзя свести только к последовательному или параллельному. Примером подобного соединения являются соединения многолучевой звездой (рис. 2.2, а)и многоугольником (рис. 2.2, б).

    Характерной особенностью этих соединений является наличие внутреннего узла 0 в звезде и внутреннего контура в многоугольнике. Наиболее часто встречаются случаи трехлучевой звезды и треугольника (рис. 2.3, а,б).

    Найдем формулы преобразования соединения «треугольника» в «звезду». Запишем для схемы «треугольник» уравнения по ЗТК и ЗНК (рис. 2.3, б):

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image068.jpg

    Уравнения (2.6) и (2.7) позволяют осуществить переход от соединения резистивных элементов «треугольник» к соединению «звезда». Обратный переход можно получить по формулам

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image069.jpg

    Пример.Рассчитать токи ветвей схемы резистивной цепи, изображенной на рис. 2.4, а.Данная схема может служить моделью измерительного моста, который находит широкое применение в различных измерительных приборах, в частности для измерения сопротивлений. Принцип работы моста основан на выполнении условий баланса его плечей.

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image070.jpg

    При этом потенциалы узлов 2и 3оказываются одинаковыми и в диагонали моста R23 ток будет равен нулю. Таким образом, если включить в диагональ моста вместо R23измерительный прибор — амперметр, то путем изменения одного из сопротивлений плеча (например, R24с помощью магазина сопротивлений), можно найти сопротивление другого (например R3l). Для случая, когда R12 = RM31= R,условие баланса достигается при R34= R24.

    Преобразуем треугольник R12,R23,R13в звезду с лучами R1,R2,R3(рис. 2.4, б), где R1,R2,R3определяются формулами (2.6) и (2.7). Тогда эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов источника (узлы 1 и 4)

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image071.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image072.jpg

    Аналогично формуле (2.9) можно получить формулыпреобразования n-лучевой звезды в полный многоугольник с числом ветвей равным пв= п(п —1)/2:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image073.jpg

    Следует отметить, что обратная задача преобразования многоугольника в эквивалентную n-лучевую звезду при n>3 не имеет решения, так как при этом оказывается число уравнений п(п —1)/2 превышает число неизвестных.

     

    1.13. Метод наложения

     

    В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции (наложения), линейных электрических цепей (§ 1.6). Этот метод применяется в случае, когда в цепи действует несколько источников напряжения или тока. При этом в соответствии с этим принципом находят частичные токи и напряжения, а результирующие реакции определяются путем алгебраического суммирования частичных токов и напряжений.

    Проиллюстрируем принцип наложения на примере резистивной цепи, изображенной на рис. 2.5, а,содержащей идеальные источники напряжения. Найдем ток в резистивном элементеR3.Положим вначале, что в цепи действует только один источник UT\;второй источник напряжения исключается и зажимы его закорачиваются. При этом получаем частичную схему, изображенную на рис. 2.5, 6.Определим ток Iз' от воздействия напряжения UГ1'.

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image074.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image075.jpg

    Теперь полагаем, что в цепи действует только источник UГ2- Исключив источник UГ1,получим вторую частичную схему (рис. 2.5, в).Ток Iз" от воздействия UГ2определится как

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image076.jpg

    Результирующий ток Iз найдем как алгебраическую сумму частичных токов Iз ' и Iз ": Iз = Iз’+ Iз ".При определении результирующих токов знак «+» берут у частичных токов, совпадающих с выбранным положительным направлением результирующего тока, и знак «—» — у несовпадающих. Как следует из рассмотренного примера, при составлении частичных электрических схем исключаемые идеальные источники напряжения закорачиваются. В случае, если в цепи действуют источники напряжения с внутренними сопротивлениями RГ,при их исключении они заменяются своими внутренними сопротивлениями RГ.

    При наличии идеальных источников тока соответствующие ветви исключаемых источников размыкаются, а при наличии реальных источников они заменяются своими внутренними проводимостями Gr.

    Пример.Определить ток /з в цепи, изображенной на рис. 2.6, а.Составляем две частные схемы (рис. 2.6, б, в),для которых находим частичные токи:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image077.jpg

    При наличии в цепи зависимых источников они остаются в частичных схемах неизменными.                                                  

    1.14. Метод контурных токов

    При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с nB -ветями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из пвуравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения расчетов используют методы контурных токов и узловых напряжений.

    Метод контурных токовпозволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров, определяемых равенством (1.15). В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока Ik,направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по ЗНК. Поясним суть метода контурных токов на примере резистивной цепи, схема которой изображена на рис. 2.5, а.Для контурных токов Iк1 и IК2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image078.jpg

    Перенесем UT\и Ur2в правую часть системы и получим так называемую каноническую формузаписи уравнений по методу контурных токов:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image079.jpg

    Слагаемые http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image080.gif в уравнении (2.11) берутся со знаком «+», если ток Iкl и Iкпобтекают Rlnв одном направлении и со знаком «—» в противном случае. Контурное задающее напряжениеUKравно алгебраической сумме задающих напряжений источников, входящих в каждый контур. Со знаком «+» суммируются источники, задающее напряжение которых направлено навстречу контурному току, и со знаком «—», если направление напряжения и контурного тока совпадают.

    Решая систему уравнений (2.11), найдем значения контурных токов

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image081.jpg

    Как следует из уравнений (2.14) и (2.15), контурный ток может быть получен алгебраическим суммированием частичных токов от воздействия каждого контурного задающего напряжения в отдельности. Таким образом, полученный результат отражает рассмотренный в § 1.6 принцип наложения.

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image082.jpg

    Если в схеме кроме источников напряжения содержится п-ветвей с источниками тока, то независимые контуры выбираются так, чтобы источник тока входил только в один контур. Это можно сделать, если выбрать дерево графа цепи таким, чтобы источник тока   входил   в   одну   из   хорд.

    Число контурных уравнений при этом уменьшается до

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image083.jpg

    Напряжения от задающих токов этих источников учитываются в левой части системы (2.11) на взаимных сопротивлениях, которые эти токи обтекают. Например, для схемы, изображенной на рис. 2.6, а,составляется только одно уравнение для II контура:

     

     

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image084.jpg

    Сформулированные выше правила составления уравнений по методу контурных токов справедливы и в случае зависимых источников напряжения ИНУН и ИНУТ.

    Пример.Найдем токн в цепи содержащей ИНУТ с задающим напряжением Uг2 =  HRI1(рис. 2.7) по методу контурных токов.

    Учитывая, что цепь содержит ветвь с идеальным независимым источником тока J согласно (2.15) составим всего одно уравнение для контурного тока Iк. При этом задающий ток источника тока J замыкаем по ветви с R1и UГ1,в результате получим

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image085.jpg

     

     

    где IК — матрица-столбец контурных токов. Подставляя (2.19) в (2.18), получаем:

    BRBBTIK =BUГB.                                   (2.21)

    Если учесть, что

    BRBBT=RK,   ВиГВ=Uк,(2.22)

    где RK — квадратная матрица контурных сопротивлений; UK — матрица-столбец контурных задающих напряжений, то в соответствии с (2.20) получим матричное уравнение контурных токов

    RKIK=UK.(2.23)

    Пример.Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.8, а.В соответствии с направлением токов строим направленный граф цепи (рис. 2.8, б) и дерево графа (рис. 2.8, в).Подсоединяя к дереву хорды (на рис. 2.8, гобозначены пунктиром), получаем три независимых контура. Выбрав направление обхода контуров I, II и III,в соответствии с правилом, изложенным в § 1,3, строим контурную матрицу

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image086.jpg

     

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image087.jpg

    Для линейных электрических цепей важную роль играет принцип взаимности (теорема обратимости).Он гласит: если источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвьIпассивной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветвиkток определенного значения, то этот же источник, будучи помещенный в ветвьk, вызывает в ветвиlток с тем же значением.Справедливость этого принципа следует непосредственно из уравнений (2.14) и (2.15) с учетом того, чтоΔlk = Δkl.

     

    1.15. Метод узловых потенциалов

     

    Метод узловых потенциалов (узловых напряжений) является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности, в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.

    Метод узловых потенциаловбазируется на ЗТК и законе Ома. Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, определяемой равенством (1.14). В основе этого метода лежит расчет напряжений в (nу — 1)-м узле цепи относительно базисного узла. После этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения в соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых потенциалов на примере резистивной цепи, изображенной на рис. 2.9, а.Примем потенциал Vз = 0 (базисный узел) и с помощью (1.31) преобразуем источники напряжения в эквивалентные источники тока

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image088.jpg

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image089.jpg

    Проводимости G11 и G22 представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2; они называются собственными проводимостямиузлов 1 и 2. Проводимости G12 = G21 равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостямиузлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов Iy1и IУ2 источников тока подключенных соответственно к узлам 1 и 2 называют задающими узловыми токамиузлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком «+», если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и «—», если от узла. Например, для узлового тока Iy1 со знаком «+» берется ток IГ1 так как ориентирован по направлению к узлу 1, и знак «—» берется для IГ2,так как он ориентирован от узла 1.

    Решив систему (2.26) относительно V1и V2определим узловые потенциалы цепи. Искомые токн находим по закону Ома.

    Полученный результат можно обобщить на произвольную резистивную схему с пузлами. Если принять п-йузел за базисный, то система уравнений по методу узловых потенциалов приобретает вид

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image090.jpg

    Из уравнений (2.29) так же как из уравнений (2.14), следует, что   узловые   потенциалы   определяются   алгебраической   суммой

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image091.jpg

    частичных узловых потенциалов, обусловленных действием каждого задающего узлового тока в отдельности, т. е. как и в методе контурных токов уравнения (2.29) отражают принцип наложения, характерный для линейных электрических цепей.

    Рассмотренный   метод   составления узловых напряжений справедлив и при наличии в цепи зависимых источников типа ИТУТ и ИТУН. В цепи, изображенной на рис. 2.10, содержится кроме независимого источника напряжения UГ1зависимый ИТУН с задающим током Jз = = HGU1.Определим токи в цепи методом узловых потенциалов.

    В соответствии с вышеизложенным 'методом примем за базисный узел V2=0. Тогда для узла / получим

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image092.jpg

     

    Запишем уравнение по метолу узловых потенциалов в матричной форме. Умножим элементы редуцированной структурной матрицыАо на потенциалы Vсоответствующих узлов, в результате получим матрицу напряжения ветвей:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image093.jpg

    Умножим левую и правую часть матричного уравнения (2.17) на матрицу Ао и учитывая ЗТК в матричной форме (1.18) и равенство (2.30), получим

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image094.jpg

    получим матричную форму уравнений равновесия узловых потенциалов:

    http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_1.files/image095.jpg

    где Gy — квадратная матрица узловых проводимостей, Iу — матрица-столбец узловых токов.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
    написать администратору сайта