Главная страница
Навигация по странице:

  • −x ( x + (−x) = 0

  • 1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы


    Скачать 1.13 Mb.
    Название1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы
    Дата13.08.2019
    Размер1.13 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла1.docx
    ТипДокументы
    #85056
    страница1 из 18

    Подборка по базе: 16. Линейная функция и ее график.pptx, 01.Линейная алгебра база бак.doc, Лекция 3 Линейное программирование.docx, линейная алгебра 9 вариант.doc, 4.docx алгебра.docx, Лінійна алгебра та аналітична геометрія.docx, 1 Линейная алгебра.doc, тема 1КР_Линейная алгебра.doc, тема 1КР_Линейная алгебра.doc, тема 1КР_Линейная алгебра.doc.
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18

    1. Линейная алгебра

    1.1. Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы.


    Линейное пространство. Множество L  называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

    1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + из L, называемый суммой x и y, причём:

    x + y = y + x сложение коммутативно;

    x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

    x + 0 x − существует единственный нулевой элемент x + 0 x для любого x из L);

    x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

    2. Каждой паре x и α, где α число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

    α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;

    1·x = x − для любого элемента x из L.

    3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

    α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

    (α + βx = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

    Базис. Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из  L линейно выражается через векторы системы.

    Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e1, ..., en
    образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде

    x = С1·e12·e2+ ...+Сn· en.

    Линейный оператор. Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из в Y.

    Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ xx — прообраз y.

    Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из XyA(x), оператор называют взаимно однозначным отображением в Y или преобразованием X— область определения оператора.

    Пусть и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов и v из X и любого числа α справедливо:

    A(v) = A() + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u).

    Матрица линейного оператора. Линейный оператор действует из n-мерного линейного пространства в m-мерное линейное пространство .

    В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.

    Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.

    Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}{A(ej )i}:



    Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

    y = A· x,






    Элементарная матрица. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, получающаяся из единичной матрицы в результате неособенного элементарного преобразования над строками (столбцами), называется элементарной матрицей, соответствующей этому преобразованию.

    Так, например, элементарными матрицами второго порядка являются матрицы



    где А — любой ненулевой скаляр.

    Элементарные матрицы обладют следующими свойствами.

    1. Определители элементарных матриц не равны нулю и

    .

    2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:

    .

    3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы.
    1.2. Детерминант квадратной матрицы. Два определения ранга матрицы (в терминах линейной независимости строк и неравенства нулю миноров.
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18


    написать администратору сайта